Lema 1 : Si la función continua f tiene puntos extremos, entonces \exists x,y,~f(x)=f(y) .
Prueba. Sin pérdida de generalidad, suponemos que f tiene un punto máximo local en t . Según la definición de máximo local, tenemos \exists \xi>0, \forall x\in\underset{o}{U}(t,\xi), f(x) \leq f(t) Dejemos que M = \max\left\{\min_{x\in(t-\xi, t)}f(x), \min_{x\in(t,t+\xi)}f(x)\right\} Por Teorema del valor intermedio hay un valor de la función (M+f(t))/2 en ambos intervalos (t-\xi, t) y (tt+\xi) . \Box
Lema 2: Si f es continua en \mathbb{R} y satisface \forall x,y, ~f(x)\neq f(y) entonces f es estrictamente monótona.
Prueba. Supongamos que f no es estrictamente monótona. Porque \forall x,y, ~f(x)\neq f(y) tenemos \exists a< b,~f(a)< f(b) . Sea \begin{align*}H = \sup_{t>a} \{\forall x\in(a,t), f(x)<f(t)\}\end{align*}\\ L = \inf_{t< a} \{\forall x\in(t,a), f(t)<f(x)\} Si H\to\infty L\a-\a-infección , then f is strictly monotone, which contradicts the assumption. So there should be one of them \N - Flecha derecha \N - Infty.
Sin pérdida de generalidad, suponemos que es H que \nrightarrow \infty entonces \exists \xi, \forall x\in\underset{o}{U}(H,\xi), f(x) < f(H) (véase la definición de H ), que indica que H es un máximo local. De acuerdo con el Lemma 1, \exists x,y,~f(x)=f(y) . Contradiction occrus, así que f debe ser estrictamente monótona. \Box
Lema 3: Si f' es estrictamente monótona y diferenciable en \mathbb{R} entonces f no tiene límites.
Prueba. f''>0 ou f''<0 desde f' es estrictamente monótona y diferenciable . La serie de Taylor de segundo orden de f es: f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(\xi)x^2 Así que f no tiene límites. \Box
Teorema: Si f es acotado y dos veces diferenciable en \mathbb{R} entonces \exists \xi, f''(\xi)=0
Prueba. f es dos veces diferenciable, por lo que f' es diferenciable. Supongamos que \forall x,y, ~f'(x)\neq f'(y) entonces f' es estrictamente monótono (Lema 2), y f está acotado (Lemma 3), por lo que la suposición no se cumple, lo que significa que \exists x,y,~f'(x)=f'(y) .
Según Teorema del valor medio , \exists \xi, f''(\xi)=0 . \Box
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Como vemos con \arctan x un cero es lo máximo que podemos garantizar.
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¿Por qué se etiqueta como variación limitada?