Si $f$ está acotado y es dos veces diferenciable en $\mathbb{R}$ , demuestre que existe $\xi\in\mathbb{R}$ , s.t. $f''(\xi)=0$ .

Question

Mi idea:

1. Si $f$ tiene un máximo y un mínimo, entonces $f'=0$ en estos dos puntos, y la conclusión se deriva además utilizando el Teorema del Valor Medio. Pero, ¿y si $f$ no tiene un máximo/mínimo, como $f=\frac{1}{1+e^{-x}}$ ?
2. $f$ es dos veces diferenciable en $\mathbb{R}$ Así que $f'$ es continua en $\mathbb{R}$ . Si $\forall x,y,~f'(x)\neq f'(y)$ entonces $f'$ es una función monótona (¿cómo demostrarlo?). A continuación, utilice la aproximación de Taylor de segundo orden para demostrar $f$ es ilimitado (inspirado en Simon S), lo que contradice la suposición. Así que $\exists x,y,~f'(x)=f'(y)$ y $\exists \xi,~ f''(\xi)=0$ [Teorema del valor medio].

Answer 1

1. si una función $f$ es diferenciable en un intervalo y la derivada es siempre diferente de cero, entonces la función es creciente o decreciente (la derivada tiene signo constante, por la propiedad de Darboux de las derivadas).

2. Supongamos una función $f$ tiene una segunda derivada siempre diferente de cero. Aplicar 1. a la primera derivada para encontrar que la función dada es estrictamente cóncava o estrictamente convexa. Si tomamos un punto en el que la derivada no es cero, la recta tangente no está acotada por arriba ni por abajo. Por lo tanto, la función no está limitada porque se encuentra por encima o por debajo de la recta tangente.

Answer 2

No necesitamos el teorema de Darboux. Supongamos que $f''(x)\ne0$ para todos $x\in{\mathbb R}$ . Sea $$\Omega:=\bigl\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\>\bigm|\>x<y\bigr\}\ ,$$ y considerar la función $g:\>\Omega\to{\mathbb R}$ definido por $$g(x,y):={f'(y)-f'(x)\over y-x}\ .$$ Por el MVT para todos $(x,y)\in\Omega$ hay un $\tau\in\ ]x,y[\ $ con $$g(x,y)=f''(\tau)\ne0\ .$$ Desde $g$ es continua se deduce que el signo de $g$ es constante en $\Omega$ lo que implica que $f'$ es estrictamente monótona, es decir, creciente, en ${\mathbb R}$ .

Si $f'(b)=:\beta>0$ para algunos $b\in{\mathbb R}$ entonces $f'(x)>\beta$ para todos $x>b$ et $f$ será ilimitado cuando $x\to\infty$ . Del mismo modo, si $f'(a)=:\alpha<0$ para algunos $a\in{\mathbb R}$ entonces $f'(x)<\alpha$ para todos $x<a$ et $f$ será ilimitado cuando $x\to -\infty$ . De ello se desprende que $f'$ es idénticamente cero - una contradicción.

Answer 3

Lema 1 : Si la función continua $f$ tiene puntos extremos, entonces $\exists x,y,~f(x)=f(y)$ .

Prueba. Sin pérdida de generalidad, suponemos que $f$ tiene un punto máximo local en $t$ . Según la definición de máximo local, tenemos $$\exists \xi>0, \forall x\in\underset{o}{U}(t,\xi), f(x) \leq f(t)$$ Dejemos que $$M = \max\left\{\min_{x\in(t-\xi, t)}f(x), \min_{x\in(t,t+\xi)}f(x)\right\}$$ Por Teorema del valor intermedio hay un valor de la función $(M+f(t))/2$ en ambos intervalos $(t-\xi, t)$ y $(tt+\xi)$ . $\Box$

Lema 2: Si $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y satisface $\forall x,y, ~f(x)\neq f(y)$ entonces $f$ es estrictamente monótona.

Prueba. Supongamos que $f$ no es estrictamente monótona. Porque $\forall x,y, ~f(x)\neq f(y)$ tenemos $\exists a< b,~f(a)< f(b)$ . Sea $$\begin{align*}H = \sup_{t>a} \{\forall x\in(a,t), f(x)<f(t)\}\end{align*}\\ L = \inf_{t< a} \{\forall x\in(t,a), f(t)<f(x)\}$$ Si $H\to\infty$$ L\a-\a-infección $, then $ f $ is strictly monotone, which contradicts the assumption. So there should be one of them $ \N - Flecha derecha \N - Infty$.

Sin pérdida de generalidad, suponemos que es $H$ que $\nrightarrow \infty$ entonces $\exists \xi, \forall x\in\underset{o}{U}(H,\xi), f(x) < f(H)$ (véase la definición de $H$ ), que indica que $H$ es un máximo local. De acuerdo con el Lemma 1, $\exists x,y,~f(x)=f(y)$ . Contradiction occrus, así que $f$ debe ser estrictamente monótona. $\Box$

Lema 3: Si $f'$ es estrictamente monótona y diferenciable en $\mathbb{R}$ entonces $f$ no tiene límites.

Prueba. $f''>0$ ou $f''<0$ desde $f'$ es estrictamente monótona y diferenciable . La serie de Taylor de segundo orden de $f$ es: $$f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(\xi)x^2$$ Así que $f$ no tiene límites. $\Box$

Teorema: Si $f$ es acotado y dos veces diferenciable en $\mathbb{R}$ entonces $\exists \xi, f''(\xi)=0$

Prueba. $f$ es dos veces diferenciable, por lo que $f'$ es diferenciable. Supongamos que $\forall x,y, ~f'(x)\neq f'(y)$ entonces $f'$ es estrictamente monótono (Lema 2), y $f$ está acotado (Lemma 3), por lo que la suposición no se cumple, lo que significa que $\exists x,y,~f'(x)=f'(y)$ .

Según Teorema del valor medio , $\exists \xi, f''(\xi)=0$ . $\Box$