Equivalencia de categorías y de sus categorías de funtores

Question

Supongamos que $A, B, C$ son categorías. Si $A$ y $B$ son equivalentes, ¿se da el caso de que $C^A$ y $C^B$ ¿son equivalentes? Además, ¿es el caso de que $A^C$ y $B^C$ son equivalentes.

Primero conjeturé que $C^A$ y $C^B$ son equivalentes, pero luego, al intentar demostrar la conjetura, empecé a darme cuenta de que podría no ser así. Así que ahora estoy tratando de encontrar un contraejemplo. Hasta ahora no he podido encontrar ninguno. Quizá me he quedado con ideas "demasiado complicadas". Creo firmemente que hay contraejemplos muy sencillos. Por favor, ayuda. (Para más detalle, llegué al punto en que tengo un cubo que quiero que sea conmutativo, pero sólo puedo demostrar que 4 de sus lados son cuadrados conmutativos. Es entonces cuando me doy cuenta de que los otros dos lados no son necesariamente conmutativos).

Y por supuesto, hay una segunda parte del problema que no es sólo el problema dual. Me gustaría saber sobre el caso especial en el que $A$ es un preorden y $B$ es un orden parcial que es el esqueleto de $A$ . Puede que esto no tenga nada que ver con la validez de la declaración en cuestión, pero es el escenario que originó esta cuestión.

Answer 1

Recordemos que $\mathsf{Cat}$ (la categoría de todas las categorías pequeñas) es una $\mathsf{Cat}$ -categoría enriquecida. Por lo tanto, tenemos funtores hom internos. Permítanme explicar esto explícitamente:

Debería poder comprobar que $A \mapsto [A,C]$ (esto es lo que se escribe como $C^A$ ) es una contravariante $\mathsf{Cat}$ -endofunctor de $\mathsf{Cat}$ es decir, que tenemos funtores $[B,A] \to [[A,C],[B,C]]$ , $F \mapsto F^*$ que conmutan con la identidad y la composición. Como tal, preserva las equivalencias por disparate formal.

De la misma manera, $A \mapsto [C,A]$ proporciona una covariante $\mathsf{Cat}$ -endofunctor de $\mathsf{Cat}$ , es decir, tener funtores $[A,B] \to [[C,A],[C,B]]$ , $F \mapsto F_*$ que conmutan con la identidad y la composición. De nuevo se deduce que las equivalencias se conservan.

Answer 2

Tal vez me estoy perdiendo algo, pero yo diría que $C^A$ y $C^B$ son efectivamente equivalentes.

De hecho, si tenemos una equivalencia de categorías entre $A$ y $B$ , eso significa que tenemos un par de funtores

$$ F: A \longrightarrow B \qquad \text{and} \qquad G : B \longrightarrow A \ , $$

junto con un par de isomorfismos de funtores

$$ \varepsilon : FG \longrightarrow \mathrm{id}_B \qquad \text{and} \qquad \eta : \mathrm{id}_A \longrightarrow GF \ . $$

Entonces, me pierdo: ¿por qué no se puede construir otra equivalencia de categorías como ésta?

$$ F^* : C^B \longrightarrow C^A \qquad \text{and} \qquad G^* : C^A \longrightarrow C^B \ , $$

donde

$$ F^*(\phi) = \phi\circ F \qquad \text{and} \qquad G^* (\psi ) = \psi \circ G \quad \text{?} $$

EDITAR 1. En la misma línea: ¿por qué

$$ F_*: A^C \longrightarrow B^C \qquad \text{and} \qquad G : B^C \longrightarrow A^C \ , $$

definido como

$$ F_*(\phi ) = F\circ \phi \qquad \text{and} \qquad G_*(\psi ) = G \circ \psi $$

NO definen otra equivalencia de categorías? Por lo que veo, no hay ningún "cubo" que deba conmutar en ninguna parte. ¿Estoy equivocado?

EDITAR 2. Más detalles para el primer caso. Debería haber definido $F^*$ y $G^*$ en morfismos también. Bien, hagámoslo así: para cualquier transformación natural de funtores $f:\phi_1 \longrightarrow \phi_2$ (un morfismo de $C^B$ ), defina

$$ F^*(f)_a = f_{Fa} : \phi_1(Fa) \longrightarrow \phi_2(Fa) \ . $$

Y análogamente para $G^*$ .

Entonces, el isomorfismo natural $\eta$ induce otro isomorfismo natural

$$ \eta^* : \mathrm{id}_{C^A} \longrightarrow F^*G^* $$

como sigue: para cualquier functor $\psi : A \longrightarrow C$ , tienes una transformación natural

$$ \eta^*(\psi ) : \psi \longrightarrow \psi \circ G\circ F $$

definido como

$$ \eta^*(\psi )_a = \psi (\eta_a) : \psi (a) \longrightarrow \psi (GFa) $$

Este $\eta^*(\psi)$ es efectivamente una transformación natural de funtores (es decir, un morfismo de $C^A$ ): para cualquier $f: a \longrightarrow b$ se tiene el diagrama conmutativo necesario sólo aplicando $\psi$ al diagrama conmutativo que se obtiene del hecho de que $\eta$ es una transformación natural.

También hay que comprobarlo $\eta^*$ es una transformación natural y un isomorfismo. En este punto se necesitan algunos diagramas. Veamos si soy capaz de poner aquí un enlace al archivo pdf correcto.

EDITAR 3. Se me olvidó decirte: aquí y allá probablemente necesitarás la palabra "pequeño" para que estas categorías de funtores sean categorías reales. Por ejemplo, si no recuerdo mal (no tengo mi Mac Lane conmigo ahora mismo), necesitarás $C$ ser pequeño para $A^C$ y $B^C$ para ser categorías . Si no, invoca algún universo más grande y servirá. (Supongo.) :-)