Complejo complejo complejo

Question

Soy una Mentira teoría de novato, así que por favor tengan paciencia conmigo.

Mi entendimiento es que la Mentira de álgebra $\mathfrak g$ de una matriz de Lie del grupo de $G$ es el par $(V, [\cdot, \cdot ])$ donde $V$ es el verdadero espacio vectorial sobre el conjunto de todas las matrices $X$ que $e^{tX}\in G$ todos los $t\in\mathbb R$, e $[\cdot, \cdot]$ es la matriz de conmutacion.

Esto me lleva a creer que la Mentira de álgebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ de la matriz de Lie del grupo de $\mathrm{SL}(2, \mathbb C)$ es el par $(V, [\cdot, \cdot])$ donde $V$ es un verdadero espacio vectorial sobre el conjunto de traceless, $2\times 2$ matrices complejas con la matriz de conmutacion.

Sin embargo, a mí me parece común que el símbolo $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ es usado para referirse a un complejo de álgebra de la Mentira. Es común que simplemente extender el campo de a $\mathbb C$ y llamar a la resultante de la Mentira de álgebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$? ¿La terminología dependen del contexto?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Primero: La definición de la Mentira grupos y álgebras de Lie puede variar dependiendo de a quién preguntes.

Dado un (matriz) se encuentran el grupo de $G$ (por lo $G\subseteq GL_n(\mathbb{C})$), la Mentira de álgebra de $G$ es el conjunto $$ \mathfrak{g} = \{X \in G \a mediados de e^{tX} \G \; \forall\; t\in \mathbb{R}\}. $$ Este es claramente un espacio vectorial real. Pero no necesariamente es un espacio vectorial complejo. Siempre nos dan una real Mentira álgebra. Sólo obtenemos un complejo Mentira álgebra si $iX\in \mathfrak{g}$ todos los $X\in \mathfrak{g}$. Así que sólo porque las entradas son complejos, no significa que la Mentira álgebra es complejo.

Se considera específicamente $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ usted obtiene el conjunto de $2\times 2$ matrices con entradas complejas de traza cero. Nuevamente, este es automáticamente un espacio vectorial real, pero podemos tratar de comprobar si se trata de un complejo espacio vectorial. Comprobamos que $$ i\pmatrix{a & b \\ c & -a} = \pmatrix{ia y ib \\ ic & ia}. $$ Nuevamente, esto ha de traza cero, por lo que, de hecho, $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es un complejo de álgebra de la Mentira. Nosotros generalmente, a continuación, llamar a la Mentira de grupo complejo si la Mentira álgebra resulta ser un complejo de álgebra de la Mentira. Otros complejos Mentira grupos $GL_n(\mathbb{C}), SL_n(\mathbb{C})$, $SO_n(\mathbb{C})$, y $Sp_n(\mathbb{C})$.

Otro ejemplo: Considere la posibilidad de la Mentira de grupo $SU(n)$ de todos los $n\times n$ unitario matrices (con las entradas de $\mathbb{C}$) con determinante $1$. En este caso, usted puede encontrar que la Mentira de álgebra $\mathfrak{su}(n)$ es el espacio de todos los $n\times n$ matrices complejas $X$ donde $X^* = -X$ ($*$ complejo conjugado transpuesto) y con traza $0$. Este no es un complejo de álgebra de la Mentira, pero sólo una verdadera Mentira álgebra. Por lo $SU(n)$ no es un complejo de Lie del grupo.

Esperemos que no dije nada malo.