La nomenclatura de las $\dfrac{\partial}{\partial z}$ $\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}$ es confuso, porque da la impresión de que estos son realmente derivadas parciales con respecto a las dos variables independientes, $z$$\bar{z}$. Sin embargo, es claro que $z$ $\bar{z}$ no son independientes.
Funciones diferenciables y de Conformación de Mapas
Una función derivable en a $\mathbb{R}$ localmente se ve como una función lineal, es decir, existe una constante real, llamado $f'(x)$, por lo que para las pequeñas $h$,
$$
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h)\etiqueta{1}
$$
De forma análoga, una función derivable en a $\mathbb{C}$ satisface $(1)$ para un número complejo $f'(x)$.
La multiplicación por $\mathbb{C}$ actúa como una rotación y escala radial cuando se ve como una acción en $\mathbb{R}^2$. Por lo tanto, si $f$ es diferenciable en a $\mathbb{C}$,
$$
f(z+h)-f(z)=f'(z)h+o(h)\etiqueta{2}
$$
Es decir, cuando se $h$ es pequeña, $h\mapsto f(z+h)-f(z)$ se ve como un modelo a escala de la rotación. Por esta razón, una función derivable en a $\mathbb{C}$ es llamado de conformación: pequeñas características se replican (escalar y girar) y los ángulos se conservan.
El complejo de la Conjugación y la Orientación de la Inversión
Complejo de conjugación, $z\mapsto\bar{z}$, es una orientación revertir la isometría. Por lo tanto, cuando se compone con un mapa de conformación, ya sea antes o después de, la composición es una orientación de la inversión mapa de conformación. Además, la doble composición de los rendimientos de una orientación de la preservación de la conformación del mapa; por ejemplo, si $f(z)$ es de conformación, entonces también lo es $\overline{f(\bar{z})}$.
Como una función en $\mathbb{R}^2$, compleja conjugación puede ser representada por la matriz $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$.
Conformación y el Conjugado de Conformación
Las derivadas parciales general de una función derivable en a $\mathbb{R}^2$ $x+iy\mapsto u+iv$ se dan generalmente en un $2\times2$ matriz Jacobiana:
$$
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial x}\\\frac{\partial u}{\partial y}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix}\etiqueta{3}
$$
El Cauchy-Riemann ecuaciones especificar que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$, lo cual está de acuerdo con las siguientes bases para la orientación de la preservación de la conformación Jacobians en $\mathbb{R}^2$:
$$
\left\{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\right\}\etiqueta{4}
$$
Tenga en cuenta que el determinante de cualquier combinación lineal de las matrices tiene determinante positivo (por lo tanto la orientación se conserva).
La siguiente base para la orientación de la inversión de conformación Jacobians en $\mathbb{R}^2$ sigue componiendo conjugación con $(4)$:
$$
\left\{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right\}\etiqueta{5}
$$
Tenga en cuenta que el determinante de cualquier combinación lineal de estas matrices negativas determinante (lo que es la orientación invertida).
El uso de $(4)$$(5)$, se puede romper en cualquier Jacobiana en la conformación y el conjugado de conformación de piezas. Mediante el componente de sabios ortogonalidad que existe entre las bases, podemos escribir la conformación parte como
$$
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\etiqueta{6}
$$
y el conjugado de conformación parte como
$$
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\etiqueta{7}
$$
$\dfrac{\partial}{\partial z}$, $\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}$, y Cuaterniones
Las definiciones de $\dfrac{\partial}{\partial z}$ $\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}$ decir
$$
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial z}(u+iv)
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right)(u+iv)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\tag{8}
\end{align}
$$
y
$$
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial\bar{z}}(u+iv)
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)(u+iv)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)\tag{9}
\end{align}
$$
El espacio de $2\times2$ Jacobians ha $4$ dimensiones, así que tratando de representar estos $4$ dimensiones con el $2$ dimensiones de $\mathbb{C}$ con $\dfrac{\partial}{\partial z}$$\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}$, oculta algo.
Es común la representación de la matriz de los números complejos como $2\times2$ real matrices donde
$$
\begin{align}
\mathbf{1}&\leftrightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\etiqueta{10}\\
\mathbf{i}&\leftrightarrow\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\etiqueta{11}
\end{align}
$$
Sin embargo, también hay una representación de la matriz de los cuaterniones como $2\times2$ matrices complejas, donde, además de a$(10)$$(11)$,
$$
\begin{align}
\mathbf{j}&\leftrightarrow\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}\etiqueta{12}\\
\mathbf{k}&\leftrightarrow\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}\etiqueta{13}
\end{align}
$$
Incrustar $(8)$ $(9)$ en los cuaterniones para obtener
$$
\left(\frac{\partial}{\partial z}(u+iv)\right)\mathbf{1}
=\frac{\mathbf{1}}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{\mathbf{i}}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\etiqueta{14}
$$
y
$$
\left(\frac{\partial}{\partial\bar{z}}(u+iv)\right)\mathbf{j}
=\frac{\mathbf{j}}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{\mathbf{k}}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)\etiqueta{15}
$$
Por último, la sustitución de $(10)$-$(13)$ en $(14)$$(15)$, es evidente, en comparación con $(6)$$(7)$, $\left(\dfrac{\partial}{\partial z}(u+iv)\right)\mathbf{1}$ representa la conformación parte de la Jacobiana y $\left(\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}(u+iv)\right)\mathbf{j}$ representa el conjugado de conformación parte.
Conclusión
Para un general $f:\mathbb{C}\mapsto\mathbb{C}$, $\dfrac{\partial}{\partial z}f$ puede ser asignada a la conformación parte de la $2\times2$ Jacobiana, $\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$, e $\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}f$ puede ser asignada para el conjugado de conformación parte. Se trata simplemente de conveniencia de notación que escribimos $\dfrac{\partial}{\partial z}$ $\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}$ porque $\dfrac{\partial}{\partial z}f\;\mathrm{d}z+\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}f\;\mathrm{d}\bar{z}=\mathrm{d}f$. Sin embargo, no son los verdaderos derivadas parciales, sino $2$ piezas de un $2\times2$ Jacobiana compuesto de $4$ derivadas parciales.
Así que, para responder a la pregunta planteada, $z\mapsto\bar{z}$ es el conjugado de conformación, por lo $\frac{\partial}{\partial z}\bar{z}=0$; por lo tanto, $\bar{z}$ actúa como una constante en $\frac{\partial}{\partial z}$.
