¿Por qué comió el integral de la pi?

Question

Estaba leyendo este artículo del cual se deriva el valor de la integral de un exponente negativo.

Yo sigo a la derivación de simetría circular, a la integración por sustitución, y este es el resultado de la ecuación: $$(l(a))^2=\pi\int_0^\infty e^{(-ax)} \, dx=\frac \pi a\tag1$$ (donde $l(a)$ es algo de la función en $a$.)

Y tomamos la $\sqrt{}$ de la ecuación (1), que produce: $$l(a)=\int_{-\infty}^\infty e^{(-ax^2)} \, dx=\sqrt{\frac \pi a} \text{ for } \operatorname{Re}(a)>0\tag2$$

Entiendo que el obligado se convirtió en el infinito negativo, porque tomar la raíz cuadrada da las soluciones negativas.

Sin embargo, no entiendo por qué el factor exponencial se convirtió $x^2$, y no tengo idea de donde la $\pi$ a partir de la ecuación (1) se fue. ¿Por qué la integral de comer el $\pi$?

Answer 1

Creo que es combinar dos cosas diferentes en dicho artículo.

En primer lugar, discuten el % integral $\int_0^\infty e^{-a x}\,dx$y demostrar que es igual a $1/a$. Esto sigue reconociendo $\frac{1}{a}e^{-a x}$ como una primitiva.

Segundo, ellos entonces quiere calcular por separado el % integral $I(a)=\int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2}\,dx$. Para continuar en esta segunda integral, escriben r\,dr$$I(a)^2 = \int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2}\,dx\int_{-\infty}^\infty e^{-a y^2}\,dy=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-a (x^2+y^2)}\,dxdy.$$ To proceed further, they note that the rotational symmetry permits the integration over all $$ $ to be converted into an integral over $$ with weight $x,y$. Hence $r=\sqrt{x^2+y^2}$~~I(a)^2 = \int_0^\infty 2\pi r e^{-a r^2}\,dr=2\pi\underbrace{\int_0^\infty\frac12e^{-au}du}_{\large u=r^2,\ du=2rdr}=2\pi\left[\frac1{2a} e^{-ar^2}\right]_0^\infty = \frac{\pi}{a}~~$2\pi que al tomar la raíz cuadrada da el resultado deseado.