¿Cuándo es válido utilizar series de taylor?

Question

Me dijo un compañero estudiante que a veces uno no puede representar ciertas funciones por una serie de taylor. Creo que él está mintiendo, ¿estoy correcto? También me dijo que a veces utilizando una serie de taylor en una prueba también es válido. ¿Es esto cierto?

Edit: me refiero a buenas funciones con propiedades bonitos, enteros, countinuous, etc. las propiedades estándar agradables.

Answer 1

Echa un vistazo a $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}$$ and take the Taylor expansion around $x=0$

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}2x^2+\dots$$

Ahora, usted se enterará de que

$$f(0)=0$$

$$f'(0)=0$$

$$f''(0)=0$$

$$etc.$$

Así que la aplicación de Taylor teorema de aquí, uno tiene

$$e^{-1/x^2}=0$$

lo cual es un disparate.

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Luego, hay un segundo caso. Ethan Alwaise menciona, cualquier expansión de la serie no tiene sentido si no convergen. Tomemos, por ejemplo, la expansión de la $\frac1{1-r}$$r=0$. A continuación, considere la posibilidad de que la expansión de $r=2$. Usted debe obtener algo a lo largo de las siguientes líneas:

$$\frac1{1-2}=1+2+4+8+\dots+2^n+\dots$$

que también es una tontería.

Answer 2

Si por representa una función por su serie de Taylor sea igual a su serie de Taylor, tu amigo tiene razón.

De hecho - la serie de Taylor en $0$ $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1/x}\textrm{, if }x>0\\0\textrm{, otherwise}\end{array}\right.$ es cero pero $f$ es distinto de cero. Howeover, $f$ es $\mathcal{C}^{\infty}$.

Que busca funciones analíticas.

Answer 3

Tiene razón, muchas funciones no tienen una serie de Taylor. Por ejemplo $f(x)=\begin{cases}1 \text{ for } x\in \Bbb{Q}\\0\text{ else}\end{cases}$ es discontinua en todas partes por lo tanto no diferenciable en todas partes y por lo tanto no tienen una serie de Taylor.

Answer 4

Para agregar a la respuesta de Zachary, una función puede tener una serie de Taylor que es válida sólo dentro de un dominio restringido. Por ejemplo, se define la función $f(x) = 1/(1 - x)$ $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Tiene una serie de Taylor, $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$ $ en el intervalo de $x \in (-1,1)$ y $\vert x \vert \geq 1$, diverge la serie anterior.

Answer 5

Deje $N$ ser un número entero mayor que cero y deje $f$ $C^{N+1}$ función definida en un intervalo $[a,b]$ que contiene cero. Por el teorema fundamental del cálculo, $$ f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) dt $$ La integración por partes (a elegir $u = f'(t)$, $v = (t-x)$) obtenemos $$ \begin{align} \int_0^x f'(t)dt &= \left. (t-x) f'(t) \right|_0^x - \int_0^x (t-x) f''(t) dt \\ &= x f'(0) - \int_0^x (t-x) f''(t) dt. \end{align} $$ Por lo tanto $$ f(x) = f(0) + xf'(0) - \int_0^x (t-x) f"(t) dt. $$ Podemos continuar de forma inductiva la integración de la pasada legislatura por partes para obtener $$ f(x) = \sum_{n=0}^N f^{(n)}(0) \frac{x^n}{n!} + R_N(x), $$ donde el resto término $R_N(x)$ está definido por $$ R_N(x) = \frac{(-1)^N}{N!} \int_0^x (t-x)^N f^{(N+1)}(t) dt. $$ Esto le da un cálculo exacto del error en el $N$th el fin de Taylor aproximación.

Para un contra-ejemplo como $f(x) = e^{-1/x}$ $x > 0$ $0$ lo contrario, es fácil ver que para cualquier $x > 0$ el resto de términos de $R_N(x)$ divergen hacia el infinito, y por lo tanto la serie de Taylor ¿ no convergen a $f(x)$, incluso a pesar de que la serie converge.