Cada bola abierta está conectada

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico tal que para todo $x \in X$ y todos $r>0$ , $\overline{B(x,r)} = \{y \in X \mid d(x,y)\leqslant r\}$ Demuestre que toda bola abierta de $X$ está conectado.

Nota- ¡Intentaba moverme con la contradicción, pero fallé!

Answer 1

La afirmación no es cierta. Por ejemplo $X = [0,2) \cup (3,5]$ . Se cumplen todas las propiedades, pero la bola abierta $B(1.5,2) = [0,2) \cup (3,3.5)$ no está conectado.