Álgebra lineal y geometría de Kostrikin y Manin: observación con respecto a esquemas y representaciones gráficas.

Question

En la página 5 de este libro hay una sección particular del libro que estoy teniendo problemas tratando de entender como a lo que los autores están tratando de punto a través. Es sobre álgebra lineal. Voy a poner en negrita las partes que necesitan más explicación y el número de ellos como (1),(2),(3) que va a ser asociado con el número de preguntas a continuación.

Por lo que comienza como este:

Comentarios sobre los diagramas y representaciones gráficas. Muchos de los conceptos generales y los teoremas de álgebra lineal son muy bien ilustrado por diagramas y fotografías. Queremos advertir al lector de inmediato acerca de los peligros (1) de dichas ilustraciones.

a)Baja dimensionalidad. Vivimos en un espacio tridimensional, y nuestro diagramas suelen presentar dos o tres dimensiones de las imágenes. En lineal álgebra trabajamos con el espacio de cualquier número finito de dimensiones y en el análisis funcional trabajamos con infinitas dimensiones de los espacios. Nuestro "low-dimensional de" intuición puede ser desarrollado en gran medida, pero debe ser desarrollado de forma sistemática(2). Aquí es un simple ejemplo, ¿cómo vamos a imaginar la disposición general de los dos planos en cuatro dimensiones el espacio ? Imaginemos a dos aviones en $\mathbb{R}^3$ de intersección a lo largo de un línea recta que splay en todas partes a lo largo de esta línea recta excepto en el origen, se perdió en la cuarta dimensión(3).

1) ¿Cómo funciona el particular ejemplo de arriba muestran los peligros de una ilustración?

2)El autor no elaborar mucho en este punto. ¿Qué significa para desarrollar la intuición sistemáticamente y cómo?

3) no estoy muy seguro de lo que el autor está tratando de decir acerca de esto, y sin imágenes en el libro es bastante difícil para mí para averiguar lo que está tratando de comunicar por parte de los autores. Si alguien podría intentar explicar lo que yo pueda tener una mental "imagen" en mi cabeza ¿qué es en realidad la intención del autor. Los diagramas y las fotos que acompañan una explicación también sería muy apreciado (a pesar de que uno no está obligado a proporcionar uno.)

PD: creo que parte de la razón por la que no captan plenamente lo que el autor está tratando de lograr es porque no puedo conseguir mi cabeza alrededor de el ejemplo acerca de los dos aviones en cuatro dimensiones del espacio.

Answer 1

No estoy seguro de que lo que voy a decir es exactamente lo que el autor quiso decir. Sin embargo, voy a tratar de explicar un poco de lo que yo entiendo sobre esto. En primer lugar, los peligros es que a veces, cuando se trate de tomar sus tres dimensiones de la intuición a dimensiones superiores no se puede romper. Por ejemplo: imagina dos planos no paralela en el espacio tridimensional, e imaginar que me pregunte si los planos se intersecan. Usted me dice que se va.

Que está bien. Ahora yo me hago la misma pregunta acerca de dos aviones en el $4$espacio tridimensional. Si me dices que se te cruzan usted va a hacer un gran error. Hay un fresco de la analogía: dos líneas que no son de paralel en $2$-dimensional espacio siempre se cruzan, pero en tres dimensiones, que puede tener dos rectas que no son paralelas, sin embargo cada uno de ellos en distintos planos. En este caso no habrá intersección. El mismo es con planos en $4$-dimensiones del espacio, cada uno de ellos puede ser en discontinuo $3$-dimensiones de los subespacios.

Sobre la intuición es algo como esto: después de trabajar mucho con esas cosas - vectores en $n$-espacio, hyperplanes, subespacios generados por conjuntos específicos - vas a empezar a tener algo de intuición, usted comenzará a tener su propia manera de entender las cosas, porque te acostumbras a ellos.

Los diagramas y figuras por supuesto, están ligados a dos o tres dimensiones, sin embargo, como he dicho, cuando se trabaja mucho con esas cosas, usted será capaz de tomar la intuición detrás de los diagramas y dibujos para $n$-espacio. Será tan natural, que va a ser como si se pudiera "ver" la $n$-dimensiones del espacio, debido a que las nociones definidas no se acaba de desarrollar la generalización y la nitidez de las definiciones en dos o tres dimensiones (que puede ver e intuir por los dibujos y fotografías).

En resumen, es todo acerca de la comprensión de las nociones en $n$-espacio generalizar nociones en $2$-espacio y $3$-espacio y acostumbrarse a él. Cuando usted puede asignar su baja de la dimensión de la intuición a cualquier dimensión, verás que todo tiene sentido, vamos a mirar esas definiciones y piensan que son tan naturales como la definición de una línea en $2$ dimensiones.

Espero que esto te aclare un poco lo que estás preocupado. Y también, esto es sólo mi punto, no puedo decir que esto es exactamente lo que el autor quiso decir, pero espero te sirva de ayuda.