Recordar: $a$ mesas, $2b$ personas en cada mesa. La etiqueta de las parejas $1,\ldots,ab$. Definir el evento $C$ como sigue:
$$
C = \{\mbox{parejas $1,\ldots,k$ son buenas y todos los demás son malos}\}.
$$
Por simetría, se observa que la
$$
\mathbb{P}(\mbox{exactamente $k$ buenas parejas}) = \left(\begin{array}{c}
ab \\ k
\end{array}\right)\
\mathbb{P}(C).
$$
Vamos a calcular $\mathbb{P}(C)$ con una inclusión-exclusión en el argumento.
Deje $\pi_n$ la probabilidad de que las parejas de $1,\ldots,n$ son buenas (independientemente de cualquier otra pareja es buena). Tenga en cuenta que por la simetría de nuevo, $\pi_n$ es la probabilidad de que cualquier conjunto particular de $n$ de las parejas son buenas. Definir los eventos $A$ $A_n$ como sigue para $n=k+1,\ldots,ab$:
\begin{eqnarray}
A &=& \{\mbox{couples %#%#% are good} \} \\
A_n &=& \{\mbox{couples %#%#%, and %#%#% are good}\}.
\end{eqnarray}
Observar
$$
C = a \setminus \bigcup_{i=k+1}^{ab} A_i.
$$
Inclusión-exclusión:
$$
\mathbb{P}(C) = \mathbb{P}(A) - \sum_{t=1}^{ab-k} \sum_{i_1,\ldots,i_t} (-1)^{t+1} \mathbb{P}(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_t}).
$$
De nuevo por la simetría, $1,\ldots,k$, y $1,\ldots,k$ términos de este formulario en la suma anterior. Por lo tanto, podemos escribir
$$
\mathbb{P}(C) = \sum_{t=0}^{ab-k} (-1)^t\ \left(\begin{array}{c}ab - k \\ t\end{array}\right) \ \pi_{k+t}.
$$
Podemos pasar a la computación en la $n$.
Que nos permiten contar el número de maneras en que cada una de las $\mathbb{P}(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_t})=\pi_{k+t}$ de las personas pueden ser asignados tablas en las que las parejas $\left(\begin{array}{c}ab - k \\ t\end{array}\right)$ son buenos. Supongamos que entre estos $\pi_n$ parejas, $2ab$ están sentados en la tabla 1, $1,\ldots,n$ en la tabla 2, $n$, e $n_1$ están sentados a la mesa de $n_2$. Por lo tanto, $\ldots$. Hay $n_a$ maneras de elegir cuál de las $a$ de las parejas se sientan en la tabla. Hay $n_1+\cdots +n_a = n$ formas para elegir la mesa en la que el resto de los $\left(\begin{array}{c}n \\ n_1,\ldots,n_a\end{array}\right)$ de las personas se sienten. Así, el número total de formas de asignación de personas a las tablas de tal manera que las parejas de $n$ son buenas es
$$
\sum_{n_1+\cdots+n_a=n} \ \izquierdo(\begin{array}{c}n \\ n_1,\ldots,n_a\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c}2ab-2n \\ 2b-2 n_1,\ldots,2b-2n_a\end{array}\right).
$$
El número total de maneras de asignar todos los $\left(\begin{array}{c}2ab-2n \\ 2b-2 n_1,\ldots,2b-2n_a\end{array}\right)$ la gente es $2ab-2n$. Por lo tanto,
$$
\pi_n = \frac{(2b)!^un}{(2ab)!} \sum_{n_1+\cdots+n_a=n} \ \izquierdo(\begin{array}{c}n \\ n_1,\ldots,n_a\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c}2ab-2n \\ 2b-2 n_1,\ldots,2b-2n_a\end{array}\right).
$$
Alternativamente, tenga en cuenta que $1,\ldots,n$ puede ser escrito
$$
\pi_n = \frac{(2b)!^un \ n! \ (2ab - 2n)!}{(2ab)!} C_n
$$
donde $2ab$ es el coeficiente de $\frac{(2ab)!}{(2b)!^a}$ en el polinomio
$$
\left(\sum_{i=0}^b \frac{1}{i! (2b - 2i)!} X^i\right)^una.
$$
