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Question

Estoy tratando de leer (parte de) "La Presentación de la Clasificación de un Producto Directo de Grupos Finitos" / Cossey, Gruenberg, Kovacs (Diario De Alegebra 28, 597-603 (1974)).

He aquí algunas afirmaciones necesito ayuda con:

(por el contexto $p$ es un número primo y $G$ es un grupo finito)

Para cada una de las $p$ dividiendo $|G|$, y cada irreductible $\mathbb{F}_p G$-módulo de $M$, vamos a $E=\text{Hom}_G(M,M)$. Entonces: 1. $\text{Hom}_G(\mathbb{F}_p G,M) \cong E^{r_M}$, 2. $H^1(G,M) \cong E^{s_M}$, para ciertos enteros no negativos $r_M$, $s_M$.

Estoy familiarizado con todos los términos, excepto para "irreductible módulo". Yo sé lo que es un módulo sencillo que es, y lo irreductible de la representación. Mi conjetura es que irreducible módulo es sólo un término antiguo para un módulo sencillo, pero no estoy seguro. Por lo tanto, necesito ayuda con este tema de la terminología y con la prueba de ambas afirmaciones.

También tenga en cuenta que este es mi primer encuentro con el grupo cohomlogy. He leído la definición aquí: http://groupprops.subwiki.org/wiki/First_cohomology_group. Me sirve para saber un poco acerca de cohomology en un contexto topológico, pero no es fresca en mi mente.

Answer 1

Primero de todo, si usted no está familiarizado con el grupo cohomology, $H^1(G,M)$ $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{F}_pG}(\mathbb{F}_p,M)$ e irreductible es sencillo.

Por Schur del lexema $E$ es un anillo de división de más de $\mathbb{F}_p$, de hecho un campo finito. Ahora tenga en cuenta que para cualquier $\mathbb{F}_p$-módulo de $N$ ambos $\hom_{\mathbb{F}_p G}(N,M)$ $\operatorname{Ext}_{\mathbb{F}_pG} (N,M)$ $E$- módulos por functoriality. Desde cualquier $E$-módulo libre, ambos tipos de grupos son isomorfos (como abelian grupos, o $E$-módulos, o $\mathbb{F}_p$-módulos) a una suma directa de $E$s.

Edit: $\hom_{\mathbb{F}_pG}(N,-)$ $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{F}_pG}(N,-)$ son functors de la categoría de $\mathbb{F}_pG$-a los módulos de la categoría de $\mathbb{F}_p$ espacios vectoriales. Cómo describir functoriality de Ext depende de la manera que usted elija para construir, pero es un derivado functor por lo que es un functor que nunca manera de hacerlo :)

Por ejemplo, usted puede construir Ext de tal manera que los elementos de la $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{F}_pG}(N,M)$ son equivalencias de clases del módulo de mapas de $\phi: P_n \to M$ donde $P_n$ es cierto proyectiva resolución de $N$. Entonces si $f:M\to M$ es un mapa del módulo, la clase de $\phi$ actuó por $f$ está representado por $f \circ \phi$.

Alternativamente, usted puede pensar de $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{F}_pG}(N,M)$ como un conjunto de clases de equivalencia de largo exacto de las secuencias de $$ 0 \to M \to L_n \to \cdots \to L_1 \to N \to 0 $$ de $\mathbb{F}_pG$-módulos que comienzan con $M$ y terminando con $N$. La acción de la $f$ sobre la clase de equivalencia de dicha secuencia está representada por una secuencia de la siguiente manera $$ \begin{array}{cccccc} 0 & \to & M & \to L_n & \to L_{n-1} & \to \cdots \\ & & \downarrow f &\downarrow & & \\ 0 & \to & M & \to X & \to L_{n-1} & \to \cdots \end{array} $$ donde $X$ es el pushout de $M \to L_n$$f:M \to M$.