Medida de un conjunto en $[0,1]$

Question

Que $E \subset [0,1]$ ser mensurables. Supongamos que para cada intervalo de $I \subset [0,1]$, $m(E \bigcap I)>1/4 m(I) $. Mostrar que $m(E)=1$.

Se agradecería cualquier insinuación.

Answer 1

La hipótesis implica que el $m(I\cap E^c)<\frac 34m(I)$ % intervalo todos $I$. Así que tenemos que mostrar que $m(E^c)=0$. Fijar $\delta_0$. Por la regularidad externa de la medida de Lebesgue, encontramos $O$ abierto tal que $m(O)-m(E^c)<\delta$ y $O\supset E^c$. Podemos escribir como Unión contable discontinuo de intervalos $O$ $\{I_j\}$. Esto da % $ $$m(E^c)=m\left(E^c\cap\bigsqcup_{j\in\Bbb N}I_j\right)<\frac 34\sum_{j\in\Bbb N}m(I_j)<\frac 34(\delta +m(E^c)),$por lo tanto, $$m(E^c)\leq 3\delta.$ $ $\delta$ fue arbitraria, hemos terminado.