¿Está vinculada la definición de álgebra y conjunto de anillo y semi-anillo?

Question

"Anillo" y "semianillo" son conceptos definidos tanto en álgebra como en teoría de conjuntos.

En Álgebra

Un anillo en álgebra es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias + y · llamadas suma y multiplicación, donde la suma (+) es abeliana, la multiplicación () es asociativa, la multiplicación distribuye sobre la suma y existe la identidad multiplicativa (1).

Un semianillo en álgebra abstracta, es una estructura algebraica similar a un anillo, pero sin el requisito de que cada elemento deba tener un inverso aditivo.

En Teoría de Conjuntos

Un anillo de conjuntos en la teoría de la medida es una familia de conjuntos cerrada bajo uniones y diferencias set-theóricas. Es decir, cumple con las dos propiedades $$A \setminus B \in \mathcal{R} $$ $$A \cup B \in \mathcal{R}$$ Lo que implica que también está cerrado bajo intersecciones, $$A \cap B \in \mathcal{R}$$

Un semianillo de conjuntos es una colección no vacía S de conjuntos tal que

• $\emptyset \in S$
• Si $E \in S$ y $F \in S$ entonces $E \cap F \in S$.
• Si $E \in S$ y $F \in S$ entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente disjuntos $C_i \in S$ para $i=1,\ldots,n$ tal que $E \setminus F = \bigcup_{i=1}^n C_i$.

Me pregunto, ¿estas definiciones están de alguna manera relacionadas o son equivalentes? ¿O es simplemente una coincidencia que ambos campos de las matemáticas utilicen los mismos términos?

Answer 1

Usando tu definición de "anillo de conjuntos en la teoría de la medida", que es una colección (no vacía) de conjuntos $R$ tal que (1) es cerrada bajo la unión ($\forall A, B \in R$ tenemos $A\cup B \in R$) y (2) es cerrada bajo la diferencia de conjuntos ($\forall A, B \in R$ tenemos $A-B \in R$), de hecho podemos demostrar que $R$ es un anillo conmutativo en el sentido algebraico, sin embargo con respecto a las operaciones de diferencia simétrica e intersección. Por lo tanto, primero mostramos que de hecho, cualquier anillo de conjuntos en la teoría de la medida está cerrado sobre la diferencia simétrica y la intersección:

Lema. Sea $R$ un anillo de conjuntos, entonces para todo $A, B \in R$, tenemos $A\Delta B \in R$ y $A\cap B \in R$. (Aquí $A\Delta B:=(A-B)\cup(B-A)$ es la operación de diferencia simétrica.)

Prueba. El cierre de la diferencia simétrica es claro a partir de su definición. Y observa que $A\cap B= (A\cup B)-(A\Delta B).$ $\Box$

Ahora observamos: Si $R$ es un anillo de conjuntos, entonces $\varnothing \in R$, ya que para cualquier $A \in R$, tenemos $A\Delta A=\varnothing \in R$. Además, observa que para cualquier $A \in R$, tenemos $\varnothing \Delta A = A$. Por lo tanto, si identificamos la operación $\Delta$ como "adición" y $\varnothing$ como la "identidad aditiva", y cada $A \in R$ es su propia "inversa aditiva", entonces tenemos

Afirmación. Si $R$ es un anillo de conjuntos, entonces $(R, \Delta)$ es un grupo abeliano. $\Box$ (Asociatividad dada en términos de conjuntos.)

Ahora, identificamos la operación $\cap$ como "multiplicación", entonces con el siguiente

Hecho. La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica. $\Box$

finalmente tenemos:

Proposición. Si $R$ es un anillo de conjuntos (en el sentido de la teoría de la medida), entonces también está cerrado bajo la diferencia simétrica $\Delta$ y la intersección $\cap$. Y que $(R, \Delta, \cap)$ forma un anillo conmutativo (en el sentido algebraico). $\Box$

Answer 2

He pensado en esto y he decidido que depende de lo que quieras definir como 'equivalente'.

Son similares en la medida en que ambos contienen algún objeto abstracto y dos operaciones definidas en dicho objeto, que satisfacen las mismas (o al menos similares) propiedades o 'axiomas'.

Sin embargo, hasta donde yo sé, no existe una biyección entre un anillo de conjuntos y un anillo algebraico, por lo que no son equivalentes en este sentido.

¡Así que ahí lo tienes, es una noción muy abstracta de equivalencia!