Resolver los racionales $p,q,r$ Satisfaciendo $\frac{2p}{1+2p-p^2}+\frac{2q}{1+2q-q^2}+\frac{2r}{1+2r-r^2}=1$ .

Question

Encontrar todas las soluciones racionales $(p,q,r)$ a la ecuación diofantina $$\frac{2p}{1+2p-p^2}+\frac{2q}{1+2q-q^2}+\frac{2r}{1+2r-r^2}=1\,.$$ Al menos, determinar una familia infinita de $(p,q,r)\in\mathbb{Q}^3$ que satisface esta ecuación. Si también se puede encontrar una familia infinita de $(p,q,r)$ con la condición adicional de que $0<p,q,r<1+\sqrt{2}$ entonces sería de gran interés.

Esta pregunta está relacionada con Tres triples pitagóricos .

Answer 1

Si se combina el sistema en una sola ecuación, se encuentra que $r$ satisface la ecuación cuadrática \begin{equation*} r^2-\frac{4(p^2q+p(q^2-4q-1)-q)}{p^2(q^2-1)-4pq-q^2+1}r-1=0 \end{equation*}

Para $r \in \mathbb{Q}$ el discriminante debe ser un cuadrado racional, por lo que debe existir $d \in \mathbb{Q}$ tal que \begin{equation*} d^2=(p^2+1)^2q^4-32p^2q^3+(2p^4-32p^3+68p^2+32p+2)q^2+32p^2q+(p^2+1)^2 \end{equation*}

El cuártico tiene una solución racional cuando $q=0$ y, por lo tanto, es bianualmente equivalente a una curva elíptica.

Utilizando el método de Mordell con un paquete de álgebra simbólica, encontramos que esta curva elíptica es \begin{equation*} V^2=U^3+2(p^4-4p^3+10p^2+4p+1)U^2+(p^2-2p-1)^4U \end{equation*} con la transformación inversa \begin{equation*} q=\frac{(p^2+1)V+8p^2U}{(p^2+1)^2U+(p^2-2p-1)^4} \end{equation*}

Los experimentos numéricos sugieren que el subgrupo de torsión de la curva es isomorfo a $\mathbb{Z4}$ y encontramos $(0,0)$ es una cuestión de orden $2$ y $(-(p^2-2p-1)^2, \pm 4p(p^2-2p-1)^2)$ son del orden $4$ .

Estos experimentos también sugieren que el rango de las curvas es siempre al menos $1$ y no es difícil encontrar que $(-(p^2+1)^2, \pm 8p^2(p^2+1)\,)$ son de orden infinito.

Tomando la negativa $V$ da el valor \begin{equation*} q=\frac{2p(p^2+1)^2}{(p+1)(p-1)(p^4-2p^3+2p^2+2p+1)} \end{equation*} y, si lo introducimos en la cuadrática para $r$ obtenemos \begin{equation*} r=\frac{(p-1)(p^6-2p^5+7p^4-p^2+2p+1)}{(p+1)(p^6-2p^5-p^4+7p^2+2p+1)} \end{equation*}

Como hay un punto de orden infinito, podemos generar un número infinito de soluciones paramétricas, aunque cada vez más complicadas.

Espero que esto ayude, y una Feliz Navidad para todos.

Answer 2

Si tres racionales $a,b,c$ pueden ser encontrados, estos conducen a la racionalidad $p,q,r$ . Para simplificar, empezaremos con el $a,b,c$ . Dado el sistema,

$$a^2+(b+c)^2 = x_1^2\\b^2+(a+c)^2 = x_2^2\\c^2+(a+b)^2 = x_3^2$$

Dejemos que $a = m^2-n^2,\;b=2mn-c,$ y se convierte en,

$$(m^2+n^2)^2 = x_1^2\\2c^2+2c(m^2-2mn-n^2)+(m^2+n^2)^2 = x_2^2\\2c^2-2c(m^2+2mn-n^2)+(m^2+2mn-n^2)^2 = x_3^2$$

A simultáneamente hacer dos cuadráticas de forma,

$$a_1x^2+a_2x+\color{blue}{a_3^2} = z_1^2\tag1$$

$$b_1x^2+b_2x+\color{blue}{b_3^2} = z_2^2\tag2$$

en cuadrados es fácil ya que su término constante ya es un cuadrado. Supongamos,

$$a_1x^2+a_2x+\color{blue}{a_3^2} = (px+\color{blue}{a_3})^2$$

Expandir y resolver para $x$ y se encuentra,

$$x = \frac{a_2-2a_3p}{-a_1+p^2}\tag3$$

Sustituya esto en $(2)$ y se obtiene un cuarteto en $p$ con un término inicial cuadrado . Ya que se va a hacer un cuadrado, se supone que tiene la forma,

$$\color{blue}{b_3^2}p^4+c_1p^3+c_2p^2+c_3p+c_4 = (\color{blue}{b_3}p^2+ep+f)^2$$

Ampliar y recoger los poderes de $p$ para conseguirlo,

$$d_1p^3+d_2p^2+d_3p+d_4 = 0$$

donde el $d_i$ son polinomios en las dos incógnitas $e,f$ . Estas dos incógnitas permiten $d_1 = d_2 = 0$ para ser resuelto, dejando sólo la eqn lineal,

$$d_3p+d_4 = 0$$

Resolver para $p$ , sustitúyalo por $(3)$ y se obtiene un $x$ que resuelve simultáneamente $(1)$ y $(2)$ . Dado que uno tiene $a,b,c$ entonces $p,q,r$ puede recuperarse utilizando las relaciones descritas por el OP aquí .

Para aquellos que aún no están familiarizados con las curvas elípticas, este método de la tangente es fácil de entender. Ya se conocía desde Fermat, pero ahora se ha incorporado a la teoría moderna de las curvas elípticas. También se puede encontrar un ejemplo ilustrativo en este puesto .