Incorporación de un módulo en su módulo de cociente

Question

Tengo una pregunta muy básica sobre los productos del tensor.

$R$ Ser un comutativo dominio integral, $K$ su campo de cociente y que $M$ un $R$-módulo. ¿Es el mapa $M \rightarrow K\otimes_R M$ de $m\mapsto 1\otimes m$una incrustación de % de $M$ en el producto del tensor? ¿Cuál es la más general de la condición que $R$ y $M$ debe satisfacer para que haya de existir tal inclusión?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que $K\otimes_{R} M$ es isomorfo como un $R$-módulo para la localización de $M$ en el subconjunto multiplicativo de a $R$ que consta de todos los no-cero elementos. (Creo que este punto de vista sería útil si usted está familiarizado con la noción de localización de los módulos.)

El núcleo de el mapa de $M\to K\otimes_{R} M$ es igual a la $R$-submódulo de $M$ compuesto de elementos aniquilado por algún elemento no nulo de a $R$. (Ejercicio!) Por lo tanto, $M\to K\otimes_{R} M$ es una incrustación si y sólo si $M$ es de torsión libre como un $R$-módulo.

Espero que esto ayude!

Answer 2

Supongo que necesita $M$ libre de torsión. Si $0 \ne m \in M$ y $0 \ne r \in R$ son tales que $r m = 0$, m \otimes $$ 1 = (r ^ r-{1}) \otimes m = r ^ {-1} \otimes r m = 0. $$