Una desigualdad compleja

Question

Sólo necesito demostrar que:

$$\int_0^{2\pi}\left|{\frac{i(Re^{i\theta})^\lambda}{1+Re^{i\theta}}}\right| d\theta \le \int_0^{2\pi} \frac{R^\lambda}{R-1}d\theta : 0 < \lambda <1 , R>1$ $ ¿Hay algún argumento geométrico trivial que no veo?

Answer 1

Sólo tienes que usar la siguiente desigualdad, válida para números complejos$a, b \in \mathbb{C}$

ps

Que en este caso se aplicó a$$|a| - |b| \leq |a \pm b|$ y$a = Re^{i\theta}$ se convierte en

$$ | Re ^ {i \ theta} | 1 \ Leq | Re ^ {i \ theta} 1 | $$

Así que esto implica que

$ \ Frac {1} {| Re ^ {i \ theta} 1 |} \ leq \ frac {1} {| Re ^ {i \ theta} | - | 1 |} = \ frac {1} {R - 1} $$

Entonces usar esto, probar la desigualdad con las integrales debe ser directo a usted.

Answer 2

$|i(Re^{i\theta})^\lambda| = R^\lambda$

$|1+Re^{i\theta}| \geq |Re^{i\theta}| - |1| = R - 1\rightarrow \frac{1}{|1+Re^{i\theta}|}\leq\frac{1}{R-1}$

entonces

ps