Más propiedades de funciones enteras

Question

Un par de preguntas más sobre funciones completas con las que tengo dificultades:

(1) Supongamos que$f$ está entero con$f(0)=0$ y$|f(z)|\leq e^{1/|z|}$ para todos$z\neq0$. Debe$f$ ser idénticamente$0$?

(2) Supongamos que$g$ está entero con$g\circ g=g$. Si$g$ no es constante, debe$g$ ser la identidad?

Gracias de nuevo por cualquier / todos los consejos.

Answer 1

(1) Si$f$ está limitado en$\{z:|z|\leq M\}$ y en$\{z:|z|\geq M\}$, entonces$f$ está limitado en$\mathbb{C}$.

(2) La ecuación$g\circ g=g$ implica que$g$ es la identidad cuando está restringido al rango de$g$. El rango de una función analítica no constante es siempre tan grande que si 2 funciones analíticas están de acuerdo en este rango, entonces deben estar de acuerdo en todas partes. (Por ejemplo, porque el rango es incontable, o porque está abierto.)