Tres sumas consecutivas de dos cuadrados

Question

$0, 1, 2$ es un ejemplo de tres números enteros no negativos consecutivos $n, n+1, n+2$ que son la suma de dos cuadrados enteros. Usando aritmética modular puedes demostrar que en todos estos tripletes $n \equiv 0 \pmod 8$ .

Ahora me pregunto, ¿hay alguna manera de encontrar todos estos tripletes? Aquí hay dos maneras que he encontrado que generan tripletes infinitos, pero no todos:

---

Porque $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$, puedes tomar cualquier triplet (excepto $0, 1, 2$ que dará lo mismo) y generar un nuevo triplet. Si $n, n+1, n+2$ es el triplet escogido entonces lo siguiente también es un triplet:

$$n(n+2) = n^2 + 2n$$

$$(n+1)^2 + 0^2 = n^2 + 2n + 1$$

$$(n+1)^2 + 1^2 = n^2 + 2n + 2$$

---

Supongamos que existe un triplet en la siguiente forma (asumiendo que $b^2 = 2a^2 + 1$):

$$a^2 + a^2 = 2a^2$$

$$2a^2 + 1 = b^2 + 0^2$$

$$2a^2 + 2 = b^2 + 1$$

Resolviendo $b^2 = 2a^2 + 1$ usando los convergentes de $\sqrt 2$ encontrarás que cada segundo convergente ($3/2$, $17/12$, $99/70$, etc.) estará en la forma $b/a$.

Por ejemplo:

$$70^2 + 70^2 = 9800$$

$$99^2 + 0^2 = 9801$$

$$99^2 + 1^2 = 9802$$

Answer 1

Los números $4n^4+4n^2,4n^4+4n^2+1,4n^4+4n^2+2$ son todos sumas de dos cuadrados, así que hay otra familia infinita. No creo que encuentres una fórmula útil que dé todas las soluciones, pero no veo cómo probar esto.

Answer 2

Bueno sabemos que $a^2 + b^2 = n$ así que $a^2 + b^2 + 1 = c^2 + d^2$

Una parametrización para esto se puede encontrar aquí: https://mathoverflow.net/questions/104621/seeking-an-integer-parameterization-for-a2b2-c2d21 (solo desplazarse hasta el final)

y luego solo haces esto nuevamente después de las sustituciones: $c^2 + d^2 + 1 = g^2 + f^2$

Solo encuentra una forma de igualar los valores de c y d de ambas ecuaciones manteniéndose en el dominio de los enteros y deberías tener una parametrización sólida.