Demostrar que $\sin\frac{\pi}{14}$ es una raíz de $8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0$

Question

Demostrar que $\sin\frac{\pi}{14}$ es una raíz de $8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0$ .

No tengo idea de cómo proceder y traté de probar que toda la ecuación se convierte en $0$ cuando $\sin\frac{\pi}{14}$ se coloca en lugar de $x$ pero no pude hacer nada más. Creo que los símbolos pueden ser diferentes pero pueden ser los mismos. Si es correcto, por favor ayúdeme a resolver esto; si la ecuación es incorrecta, entonces por favor modifíquela y resuélvala.

Answer 1

Utiliza la definición del seno en términos de exponenciales complejos:

\begin{align} & 8x^3-4x^2-4x+1 \\[10pt] = {} & 8\left(\frac{e^{i\pi/14}-e^{-i\pi/14}}{2i}\right)^3 - 4\left(\frac{e^{i\pi/14}-e^{-i\pi/14}}{2i}\right)^2 -4 \frac{e^{i\pi/14}-e^{-i\pi/14}}{2i} +1 \end{align}

Entonces recuerda que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ y $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ .

Y $(2i)^3 = -8i$ y $(2i)^2=-4$ y $1/i=-i$ .

Entonces gira la manivela.

Answer 2

En primer lugar, se tiene, para cualquier número entero $n>0$ y cualquier $a, b$ con $b \not \equiv 0 \pmod{2\pi}$ ,

$$\sum_{k=0}^{n-1} \sin (a+kb) = \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \sin \left( a+ (n-1)\frac{b}{2}\right)$$

Probaré esta fórmula un poco más tarde, pero es bastante clásica.

Con $n=7, a=\frac{\pi}{14} \textrm{and}\; b=\frac{2\pi}{7}$ , se obtiene

$$\sin \frac{\pi}{14} + \sin \frac{5\pi}{14} + \sin \frac{9\pi}{14} + \sin \frac{13\pi}{14} + \sin \frac{17\pi}{14} + \sin \frac{21\pi}{14} + \sin \frac{25\pi}{14}=0$$

Ahora, utilizando $\sin (\theta \pm \pi)= - \sin \theta$ , fíjese que $$\sin \frac{9\pi}{14} = \sin \frac{5\pi}{14}$$ $$\sin \frac{13\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{14}$$ $$\sin \frac{17\pi}{14} = - \sin \frac{3\pi}{14}$$ $$\sin \frac{21\pi}{14} = - 1$$ $$\sin \frac{25\pi}{14} = - \sin \frac{3\pi}{14}$$

Así, la igualdad se convierte en

$$\sin \frac{\pi}{14} - \sin \frac{3\pi}{14} + \sin \frac{5\pi}{14} = \frac{1}{2}$$

Utilizando $\sin p - \sin q = 2 \sin \frac{p-q}{2} \cos \frac{p+q}{2}$ , se obtiene

$$\sin \frac{\pi}{14} + 2 \sin \frac{\pi}{14} \cos \frac{4\pi}{14} = \frac{1}{2}$$

O

$$\sin \frac{\pi}{14} \left(1 + 2 \cos \frac{4\pi}{14}\right) = \frac{1}{2}$$

Pero

$$\cos \frac{4\pi}{14} = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{14} \right) = \sin \frac{3\pi}{14}$$

Y también tenemos $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ Así que

$$\cos \frac{4\pi}{14} = 3\sin \frac{\pi}{14} - 4\sin^3 \frac{\pi}{14}$$

Dejemos que $x=\sin \frac{\pi}{14}$ tenemos entonces la ecuación

$$x (1+6x-8x^3) = \frac{1}{2}$$

O

$$16 x^4-12x^2-2x+1=0$$

Pero $-\frac{1}{2}$ es una raíz trivial de $16 x^4-12x^2-2x+1$ por lo que este polinomio es divisible por $2x+1$ . Y como obviamente $\sin \frac{\pi}{14} \neq -\frac{1}{2}$ podemos hacer la división polinómica, y la ecuación se convierte en

$$8x^3-4x^2-4x+1=0$$

Y hemos terminado.

Como comentario adicional, cambiando ligeramente la prueba, a partir de $\sin \frac{\pi}{14} - \sin \frac{3\pi}{14} + \sin \frac{5\pi}{14} = \frac{1}{2}$ se descubriría que las otras dos raíces son $-\sin \frac{3\pi}{14}$ y $\sin \frac{5\pi}{14}$ .

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Ahora, la prueba de la suma

$$\sum_{k=0}^{n-1} \sin (a+kb) = \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \sin \left( a+ (n-1)\frac{b}{2}\right)$$

Hay una demostración casi trivial usando números complejos, pero aquí se nos pide que no los usemos, así que lo haremos por inducción.

En primer lugar, la fórmula es verdadera para $n=1$ pues equivale a $ \sin a = \sin a$ . Supongamos que es cierto para $n$ calcularemos

$$A=\frac{\sin \frac{(n+1)b}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \sin \left( a+ n\frac{b}{2}\right) - \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \sin \left( a+ (n-1)\frac{b}{2}\right)$$

Utilizando $2\sin \theta \sin \phi = \cos (\theta - \phi) - \cos (\theta + \phi)$ tenemos

$$A=\frac{1}{2\sin \frac{b}{2}} \left[\cos \left(\frac{b}{2} - a \right) - \cos \left(a+ (2n+1)\frac{b}{2} \right) -\\ \cos \left(\frac{b}{2} - a \right) + \cos \left(a+ (2n-1)\frac{b}{2} \right) \right]$$

$$A=\frac{1}{2\sin \frac{b}{2}} \left[ \cos \left(a+ (2n-1)\frac{b}{2} \right) - \cos \left(a+ (2n+1)\frac{b}{2} \right) \right]$$

Y, como $\cos q - \cos p = 2\sin \frac{p+q}{2} \sin \frac{p-q}{2}$ ,

$$A=\frac{1}{\sin \frac{b}{2}} \left[ \sin (a+nb) \sin \frac{b}{2} \right] = \sin (a+nb)$$

Así,

$$\sum_{k=0}^{n} \sin (a+kb) = \sum_{k=0}^{n-1} \sin (a+kb) + \sin(a+nb)$$ $$=\frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \sin \left( a+ (n-1)\frac{b}{2}\right) + A$$ $$=\frac{\sin \frac{(n+1)b}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \sin \left( a+ n\frac{b}{2}\right)$$

Y se demuestra el paso de inducción, por lo que la fórmula es verdadera para todo $n>0$ .

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La prueba de la suma en "números complejos" es así:

$$S = \sum_{k=0}^{n-1} e^{i(a+kb)} = e^{ia} \sum_{k=0}^{n-1} z^k = e^{ia} \frac{z^n - 1}{z - 1}$$

con $z=e^{ib}$ (y $z\neq1$ porque $b \not \equiv 0 \pmod{2\pi}$ )

Por lo tanto,

$$S = e^{ia} \frac{e^{inb} - 1}{e^{ib} - 1}$$

Hay un truco muy conocido para simplificar, escribir:

$$S = e^{ia} \frac{e^{inb/2}}{e^{ib/2}} \frac{e^{inb/2} - e^{-inb/2}}{e^{ib/2} - e^{ib/2}} = e^{ia} \frac{e^{inb/2}}{e^{ib/2}} \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}}$$ $$S = e^{i(a + (n-1)b/2)} \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}}$$

Así, tomando las partes real e imaginaria, se obtiene:

$$\sum_{k=0}^{n-1} \cos (a+kb) = \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \cos \left( a+ (n-1)\frac{b}{2}\right)$$

$$\sum_{k=0}^{n-1} \sin (a+kb) = \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \sin \left( a+ (n-1)\frac{b}{2}\right)$$

Answer 3

$$\sin\frac\pi{14}=\cos\left(\frac\pi2-\frac\pi{14}\right)=\cos\frac{3\pi}7$$

Dejemos que $\displaystyle\cos4x=-\cos3x=\cos(\pi+3x)\implies4x=2n\pi\pm(\pi+3x)$ donde $n$ es un número entero cualquiera

'+' $\displaystyle\implies x=(2n+1)\pi\equiv\pi\pmod{2\pi}\implies\cos x=-1$

'-' $\displaystyle\implies x=\frac{(2n-1)\pi}7$

Ahora $\displaystyle\cos4x=-\cos3x$

Utilizando la fórmula del ángulo múltiple,

$\iff8c^4-8c^2+1=-(4c^3-3c)\iff8c^4+4c^3-8c^2-3c+1=0\ \ \ \ (1)$ donde $c=\cos x$

Evidentemente, las raíces de $(1)$ son $\cos x,$ donde $\displaystyle x=\pi, \frac{(2n-1)\pi}7 $ donde $n\equiv0,1,2\pmod3$

Así, la ecuación cuyas raíces son $\displaystyle\cos\frac{(2n-1)\pi}7 $ donde $n\equiv0,1,2\pmod3$ es $$\frac{8c^4+4c^3-8c^2-3c+1}{c+1}=0$$

Aquí $n=2$

Answer 4

$$\sin\frac\pi{14}=\cos\left(\frac\pi2-\frac\pi{14}\right)=\cos\frac{3\pi}7$$

Dejemos que $\displaystyle z^7=-1=\cos\pi+i\sin\pi$

Utilizando este , $\displaystyle z=\cos\frac{(2n+1)\pi}7+i\sin\frac{(2n+1)\pi}7$ donde $n\equiv-3,-2,-1,0,1,2,3\pmod7$

Así, la ecuación cuyas raíces son $\displaystyle z=\cos\frac{(2n+1)\pi}7+i\sin\frac{(2n+1)\pi}7$ donde $n\equiv-3,-2,-1,0,1,2\pmod7$ es $$\frac{z^7+1}{z+1}=0\iff z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1=0$$

Como este dividir ambos lados por $z^3\ne0$ para conseguir $$z^3+\frac1{z^3}-\left(z^2+\frac1{z^2}\right)+z+\frac1z-1=0$$

$$\iff\left(z+\frac1z\right)^3-3\left(z+\frac1z\right)-\left[\left(z+\frac1z\right)^2-2\right]+z+\frac1z-1=0$$

$$\iff \left(z+\frac1z\right)^3-\left(z+\frac1z\right)^2-2\left(z+\frac1z\right)+1=0 $$

Observe que $\displaystyle n\equiv-2,1\pmod7\implies z+\frac1z=2\cos\frac{3\pi}7$

Del mismo modo, para $\displaystyle n\equiv-1,0\pmod7; \equiv-3,2\pmod7$

Así que, $\displaystyle2\cos\frac{3\pi}7$ es una raíz de $$u^3-u^2-2u+1=0 $$

$\displaystyle\implies\cos\frac{3\pi}7$ es una raíz de $?$

Answer 5

Como mis otras respuestas $$\sin\frac\pi{14}=\cos\left(\frac\pi2-\frac\pi{14}\right)=\cos\frac{3\pi}7$$

Utilizando este , $$\cos\frac{\pi}7-\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{3\pi}7=0$$

Ahora $\displaystyle\cos\frac{\pi}7=\cos\left(\pi-\frac{6\pi}7\right)=-\cos\left(2\cdot\frac{3\pi}7\right)$ (utilizar Doble ángulo fórmula $\displaystyle\cos2A=2\cos^2A-1$ )

$\displaystyle\cos\frac{2\pi}7=-\cos\left(\pi+\frac{2\pi}7\right)=-\cos\left(3\cdot\frac{3\pi}7\right)$ (utilizar $\displaystyle\cos3A=4\cos^3A-3\cos A$ fórmula)