¿Por qué los coeficientes de solución de un oscilador armónico son proporcionales a los menores del determinante?

Question

Estoy estudiando las oscilaciones de sistemas con más de un grado de libertad de Landau & Lifshitz Mecánica Tercera edición (para los que tengan el libro, mi pregunta corresponde aproximadamente a la explicación del último párrafo antes de la ecuación 23.9).

En primer lugar, hago una breve reseña de mi problema para mostrar lo que entiendo. Hasta ahora entiendo que dado el Lagrangiano, la ecuación de movimiento es:

$${m_{ik}\ddot{x}_k + K_{ik}x_k = 0}\tag{23.5}$$

Utilizando el habitual ansatz $x_k = A_k e^{i \omega t}$ entonces, obtenemos el conjunto de ecuaciones:

$$(-\omega^2m_{ij} + k_{ik})A_k = 0\tag{23.7}$$

donde se puede ver fácilmente que la sección entre paréntesis debe tener determinante 0, lo que nos lleva a la ecuación característica :

$$|k_{ik} - \omega^2m_{ik}| = 0\tag{23.8}$$

donde además se puede demostrar fácilmente que para cada solución de la ecuación característica $\omega^2_\alpha$ , $\alpha = 1, \ldots, S$ donde $S$ son los grados de libertad del sistema, $\omega_\alpha$ debe ser positiva y real.

A continuación cito íntegramente el párrafo con el que tengo dificultades:

Las frecuencias $\omega_\alpha$ Una vez encontrados, sustituimos cada uno de ellos en las ecuaciones (23.7) y encontramos los coeficientes correspondientes $A_k$ . Si todas las raíces $w_\alpha$ de la ecuación característica son diferentes, los coeficientes $A_k$ son proporcionales a los menores del determinante (23.8) con $\omega = \omega_\alpha$ . Que estos menores sean $\Delta_{k\alpha}$ . Por tanto, una solución particular de las ecuaciones diferenciales (23.5) es $x_k = \Delta_{k\alpha}C_{\alpha}\exp{(i\omega_\alpha t)}$ donde $C_\alpha$ es una constante compleja arbitraria.

Creo que mi principal problema aquí es mi escaso conocimiento del álgebra lineal. No entiendo por qué el hecho de que las raíces sean todas diferentes implica que los coeficientes sean proporcionales a los menores del determinante. Además me confunde un poco la expresión "menores del determinante" ya que para mí, un determinante es un valor escalar, parece que deberían decir "menores de la matriz $(k_{ik} - \omega^2m_{ik})$ " ¿Puede alguien explicarme el álgebra lineal que hay detrás de todo esto? He hecho un curso de Álgebra Lineal pero se me dio bastante mal.

Answer 1

El hecho básico del Álgebra de Líneas que subyace a esta derivación es el La regla de Cramer que expresa la solución de un sistema de ecuaciones lineales mediante determinantes .

El problema expresado por la ecuación (23.7) es homogéneo, es decir, la h.r. del sistema de ecuaciones lineales es un vector nulo, por lo que los determinantes que entran en la regla de Cramer (ver aquí ) se convierten en menores .

Answer 2

$\def\M{{\bf M}} \def\x{{\bf x}}$ He aquí dos ejemplos que pueden ayudarle a entender lo que Landau quiere decir con "los coeficientes $A_k$ son proporcionales a los menores del determinante".

De dos en dos

Dejemos que $\M = \left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)$ . Tenga en cuenta que si $\det \M = 0$ entonces $\M \x = 0$ se resuelve con $$\x = \left(\begin{array}{c} \det(b) \\ -\det(a) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} b \\ -a \end{array}\right).$$

De tres en tres

Dejemos que $$\M = \left(\begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array}\right).$$ De nuevo, si $\det \M = 0$ entonces $\M \x = 0$ se resuelve con $$\x = \left(\begin{array}{c} \det\left(\begin{array}{cc}b&c\\ e&f\end{array}\right) \\ -\det\left(\begin{array}{cc}a&c\\ d&f\end{array}\right) \\ \det\left(\begin{array}{cc}a&b\\ d&e\end{array}\right) \end{array}\right).$$

Si a veces le resulta difícil desenrollar a Landau, no es el único. El esfuerzo suele merecer la pena.

Apéndice : Fíjate en la afirmación $\M\x=0$ equivale a la afirmación de que $\det\M = 0$ y el determinante de una matriz con filas linealmente dependientes es cero.