¿Allí se cebe longitudes en triángulo con los lados enteros y alturas?

Question

Supongamos que tenemos un triángulo en el cual todos lados y en todas las alturas se entero de la longitud (es decir, el triángulo con lados de 20, 25, 15 ha alturas de 15, 12 y 20). Podría ser que al menos uno de esos números es primo?

Es muy fácil probar que si los números son diferentes, a continuación, en la mayoría de las 3 de ellos podría ser el primer. Supongamos que $a$, $b$ y $c$ son lados y $h_{a}, h_{b}$ $h_{c}$ son alturas correspondientes. A continuación, haga doble del área del triángulo es $a h_{a} = b h_{b} = c h_{c}$. Si hay 4 o más números primos, entonces una ecuación sería producto de dos números primos (por el principio del palomar), pero por el teorema fundamental de la aritmética sólo hay una única manera de expresar el número como producto de números primos que se contradice con la preposición de que todos los números son diferentes. Esto es bastante débil resultado, pero el resultado, no obstante.

Cavé un poco más (y según Wolfram Mathworld) el triángulo que tiene todos los enteros lados y entero de área se llama un Heronian triángulo (todos los 'nuestros' triángulos son Heronian, pero no todos los Heronian triángulos son 'nuestros'). En esa página hay un generativo fórmula que de inmediato se$^{*}$ muestra que ninguno de los lados puede ser el primer, y, obviamente, de la altura de oponerse a $c$ no puede ser primo. No tengo mucho tratando de probar que los otros dos alturas puede no ser la mejor, pero he escrito un pequeño script que se repite m, n y k hasta 500 y, sin embargo, para encontrar cualquiera de los números primos (hasta ahora 270K triángulos de 61M triples tengo la intención de recorrer, 54 mbps a ir).

[*] En 'inmediatamente': Originalmente me afirmó que los lados no puede ser un primo porque son productos de los números enteros. En los comentarios Steven Stadnicki planteado el punto de que $m$ o $n$ (o ambos) puede ser igual a 1, lo que llevaría a la posibilidad de que el primer lados. He demostrado que esto es imposible tener el primer lado con esa condición. Esta es la copia de la generativo fórmulas de la página para referencia:

$a = n(m^{2}+k^{2})\\ b = m(n^{2}+k^{2})\\ c = (m+n)(mn-k^{2})\\ S = kmn(m+n)(mn-k^{2})\\ GCD(m,n,k) = 1; mn > k^{2} \ge m^{2}n/(2m+n); m \ge n \ge 1$

Primero podemos ver fácilmente que tanto $m$ $n$ no puede ser de 1 (como $mn > k^{2}$), por lo que sólo $n$ 1 y $m \ge 2$. Voy a probar que si $n=1$ $a$ es el primer ($b$ es definitivamente compuesto), a continuación, $h_{a}$ no es entero, así que el triángulo no es conforme. Deje $a = p$ donde $p$ es el primer y $n = 1$. A continuación,$h_{a} = 2S/p = 2km(m+1)(m-k^{2})/p$.

Para $h_{a}$ a ser entero debe haber al menos un factor en el numerador de la cual es divisible por $p$. Por lo tanto uno de los siguientes debe ser cierto (donde $q$ es un número natural):

$\tag{a} 2=q(m^{2}+k^{2})$ $\tag{b} k=q(m^{2}+k^{2})$ $\tag{c} m=q(m^{2}+k^{2})$ $\tag{d} m+1=q(m^{2}+k^{2})$ $\tag{e} m-k^{2}=q(m^{2}+k^{2})$ Como $m \ge 2$ es obvio que (a) no puede ser verdad. El resto todos conducen a ecuaciones cuadráticas que no tienen adecuado entero de soluciones. Por ejemplo vamos a tomar (e) y tratar de resolver para $m$: $0 = qm^{2}-m+k^{2}(1+q)$, discriminante es $1-4qk^{2}(1+q)$ lo cual es negativo para cualquier natural $q$$k$, por lo tanto no hay tal $m$. Resultados similares se pueden dar para otras ecuaciones, lo que significa que no hay tal número de $p$ que $h_{a}$ es un entero.

La prueba de que $mn-k^{2}=1$ conduce a la no-entero $h_{a}$ es similar, por lo $c$ puede no ser la mejor.

Answer 1

No, ninguna de las longitudes pueden ser el primer.

Permítanme escribir $d,e,f$$h_a,h_b,h_c$, luego dos veces el área es $$ 2\mathrm{Área} = ad=be=cf $$

Además vamos a $c=x+y$ $x,y$ posiblemente firmado longitudes de satisfacciones $x^2+f^2=a^2$$y^2+f^2=b^2$, lo $x,y$ (posiblemente firmado) enteros.

Considere el caso en el que un lado de longitud es un número primo, wlog deja de ser $c$.

A continuación, ya que $c>d$, $c\nmid d$, pero $c\mid ad$, por lo que debemos tener $a=tc$, y de manera similar a $c>e$ $b=uc$ para los números enteros $t,u$. Desde $a,b,c$ hacer un triángulo $a<b+c$ $b<a+c$ tenemos $t<u+1,u<t+1\implies t=u$ y el triángulo debe ser isósceles con $a=b$.

A continuación,$x=y=c/2$, pero $a^2=f^2+x^2$ requiere $x$ a ser un número entero, por lo $c$ es regular y sólo puede ser la mejor si $c=2$. Pero, a continuación,$a^2=f^2+1$, lo que es imposible para los enteros positivos $a,f$, por lo que no puede ser un triángulo con un primer lado.

Considere el caso en el que la altura es primo, wlog deja de ser $f$.

Si $f\mid a$$f\mid x$$(x/f)^2+1=(a/f)^2$, lo que es imposible para un valor distinto de cero enteros $x/f,a/f$. Por lo $f\nmid a$$f\mid ad \implies d=tf$. Del mismo modo $f\nmid b$$e=uf$. Luego de $ad=be=cf$ tenemos $c=ta=ub$. Wlog $a\ge b$, luego de $c<a+b$ tenemos $(t-1)a<b \implies t=1$ y el triángulo debe ser isósceles con $a=c$.

A continuación, con $c=ub,e=uf$ y por la simetría de la altitud dividiendo $b$ $$ (b/2)^2+b^2=c^2 \\ (b/2)^2+u^2f^2=u^2b^2 \\ f^2=\left(\frac{b}{2u}\right)^2(4u^2-1) $$ Desde $f$ es un número entero y $\gcd(2u,4u^2-1)=1$ debemos tener $2u\mid b$. Como ya hemos mostrado $f\nmid b$ y por supuesto de $f$ es primo, entonces $\gcd(f,b)=1$, y debemos tener $b/2u=1$. A continuación,$f^2=4u^2-1$, pero esto es imposible para los enteros positivos $u,f$, por lo que no puede ser un triángulo con el primer altura.