Hago una pregunta que probablemente nunca fue una conjetura: si$x$ y$y$ son dos números naturales$> 1$ tales que$2xy = N^2$ (el doble de su producto es un cuadrado perfecto) X e y no pueden formar parte de un triple pitagórico, es decir, no hay$M$,$M > 1$ natural tal que$x^2 + y^2 = M^2$.
Respuesta
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E Chen
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Esta conjetura es verdadera.
Supongamos por contradicción,$x$, $y$ existen. Podemos suponer que la $\gcd(x,y) = 1$ sin pérdida de generalidad. Entonces, de acuerdo a $x^2+y^2=M^2$ existe $m$ $n$ de distinta paridad y $\gcd(m,n) = 1$ tal que $x = m^2-n^2$ $y = 2mn$ (Euclides de la Fórmula), así que tendríamos $mn(m-n)(m+n)$ a ser un cuadrado.
Como $m$, $n$, $m-n$, $m+n$ son todos los pares coprime (nota exactamente uno de ellos es impar), esto sólo puede suceder si cada uno es un cuadrado perfecto; si $m = a^2$, $n = b^2$ a continuación, llegamos $c^2 = a^4-b^4$, pero esto no es posible.
