La derivada de $f:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^M$ es de la forma $f':\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^{M \times N}$. Me gustaría saber cómo la doble derivada aspecto, yo.e, ¿cómo se $f''$? Lo de los mapas de $\mathbb{R}^N$ a que el espacio?
PS : por Favor, sugiera algunas buenas referencias sobre este tema.
Ya que has etiquetado (diferencial geometría), permítanme darles un poco más de la perspectiva geométrica.
El "derivado de la operación" en la categoría de suave colectores es uno que se asocia a un suave mapa de $f:M\to N$ entre suave colectores $M$ $N$ el mapa de $Tf$ (o a veces escrito como $\mathrm{d}f$ o $\nabla f$, no voy a usar la notación $\mathrm{d}f$, de modo que no se confunda con el exterior de la diferenciación) entre el suave colectores $TM$$TN$, donde $TM$ denota la tangente paquete de $M$. Una propiedad específica del mapa $Tf$ es que el restringido en el espacio de la tangente de un punto $p\in M$, $Tf(p): T_pM \to T_{f(p)}N$ es lineal en el mapa entre la tangente espacios de $M$ $p$ e de $N$$f(p)$.
Este ya es un poco diferente de la de cálculo definición. Para espacios lineales $X$$Y$, el cálculo de la definición de un derivado que da para $f:X\to Y$, $\nabla f: X\times X \to Y$ es lineal en la segunda componente. Formalmente podemos pensar en el mapa de $Tf$ $(f,\nabla f)$ en este contexto, el uso de que hay un isomorfismo canónico entre la tangente espacios de $TX$ $X\times X$ al $X$ es lineal.
Volviendo a la geometría de la imagen: naturalmente, la "segunda derivada", es entonces $$ T(Tf) : T(TM) \to T(TN) $$ desde la tangente paquetes de $TM$ $TN$ son suaves colectores en su propio derecho, y $Tf$ es un buen mapa en su propio derecho. En el cálculo avanzado definición, un espacio lineal $X$ y un espacio lineal $Y$, la segunda derivada es un mapa de $X\times X\times X \to Y$ que es bilineal en el segundo y tercer componentes. Análogo al caso anterior se puede intentar identificar formalmente $$ T(Tf) "=" ((f,\nabla f),\nabla(f,\nabla f)) \overset{?}{=} (f,\nabla f,\nabla f,\nabla^2 f) $$ Mientras que el co-dominio tiene el número correcto de las dimensiones, el dominio, sin embargo, tiene algunos problemas: el dominio de $T(Tf)$$TTM$, un colector de $4m$ dimensiones (asumiendo $M$ $m$ dimensiones). $\nabla^2 f$ sin embargo toma la entrada como algo que sólo la $3m$ dimensiones! Por otra parte, nuestra idea intuitiva de la segunda derivada de cálculo avanzado consiste en tomar dos de los derivados en la posibilidad de dos direcciones diferentes, donde las direcciones se interpretan como vectores a lo largo de $M$, es decir, dos objetos en $TM$. Pero como se ha visto anteriormente, el concepto de $T(Tf)$ requiere considerar los objetos en $TTM$. Este (en el nivel de la segunda derivada) es el punto donde la geometría se aparta de la mera "cálculo de los colectores", y este es el punto donde la noción de conexión directa . Más precisamente, para conciliar la noción con nuestra noción habitual de las segundas derivadas, lo que necesitamos es una manera, cuando se da $p\in M$, $v,w\in T_pM$, para identificar el triple $(p,v,w)$ con un elemento de $T_{(p,v)}(TM)$.
Para más información acerca de estos tipos de cosas, puede consultar:
Deje $X=\mathbb{R}^n$ y $Y=\mathbb{R}^m$, $f:X\to Y$ a continuación, $f': X\to L(X,Y)$ donde $L(X,Y)$ es el espacio de la (continua) transformaciones lineales. Dado que, por definición, tenemos $f''=(f')':X\to L(X,L(X,Y))$. Ahora si L$_2(X,Y)$ es el conjunto de (continua) bilineal funciones de $h:X\times X\to Y$ podemos identificar a $L(X,L(X,Y))\cong L_2(X,Y)$ a través de la asignación de $g(x_1)(x_2)\mapsto g(x_1,x_2)$. Así que la segunda derivada puede ser visto como una función de $f'':X\to L_2(X,Y)$.
Una referencia para esto sería Jost "Postmoderna de análisis".
Realmente $f' : \mathbb R^N \to \mathcal L(\mathbb R^N,\mathbb R^m)$ (lineal mapas). si $a \in \mathbb R^N$ $f'(a)$ en un lineal mapa de$\mathbb R^N$$\mathbb R^M$. De nuevo, desde el $f''(a)=(f')'(a)$ , podemos ver que $f'' : \mathbb R^N \to \mathcal L(\mathbb R^N , \mathcal L(\mathbb R^N,\mathbb R^M))$ que es naturalmente isomorfo a $\mathcal L_2((\mathbb R^N)^2, \mathbb R^M)$ : el conjunto de bilineal mapas de frome $(\mathbb R^N)^2$$\mathbb R^M$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
