Demostrar que la matriz puede ser el cuadrado de una matriz con entradas reales

Question

Demostrar que la matriz

\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}

puede ser el cuadrado de la matriz con todas las entradas reales.

He encontrado que una de estas matrices es

\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&2&-1\end{bmatrix} pero ¿hay una forma elegante de hacerlo sin necesidad de ensayo y error?

Answer 1

Claro. Su matriz es la matriz de una media vuelta alrededor del $x$ -eje. Sólo hay que dar un cuarto de vuelta alrededor del mismo eje: $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}\text{ or }\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}.$$

Answer 2

Pista. Piensa en la geometría de la transformación lineal $T$ del espacio que representa la matriz. A continuación, busque una transformación $S$ tal que $S^2 = T$ .

Answer 3

Intentaré presentar una solución "sin ningún tipo de prueba y error" .

Aquí tenemos una matriz $F$ en la forma $\begin{bmatrix} 1 & 0_{1 \times 2} \\ 0_{2 \times 1} & A_{2 \times 2} \end{bmatrix}$ por lo que si $G^2=F$ entonces $G$ puede ser de la forma $\begin{bmatrix} \pm 1 & 0_{1 \times 2} \\ 0_{2 \times 1} & B_{2 \times 2} \end{bmatrix}$ donde $B^2=A$ .

Ahora vamos a concentrarnos en $B^2=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $ .

Tenemos dos ecuaciones matriciales $B^2=-I$ es decir
$B^2+I=0$

y la ecuación general del teorema de Cayley-Hamilton para $ 2 \times 2$ matrices $B^2-\text{tr}(B)B+\det(B)I=0$ .

Comparando ambas ecuaciones obtenemos

$\text{tr(B)}=0$ , $ \det(B)=1$ .

Así, si denotamos $ B=\begin{bmatrix} a & b \\c & d\end{bmatrix} $ entonces $d=-a$ y en consecuencia $-a^2-bc=1$ .
Estas condiciones son suficientes para obtener una solución no sólo con real números, pero incluso con entero valores.

Por ejemplo
si $a=0$ entonces $b=1$ , $c=-1$

( $b,c$ deben tener siempre signos opuestos porque - $a^2-bc$ tiene que ser positivo - otra posible solución $-1,1$ También $a$ y $d$ se puede cambiar)

si $a=1$ entonces $b=2$ , $c=-1$
si $a=2$ entonces $b=5$ , $c=-1$
si $a=3$ entonces $b=5$ , $c=-2$
...
si $a=8$ entonces $b=5$ , $d=-13$ etc... un número infinito de soluciones - para cada número entero $a$ podemos encontrar valores enteros adecuados de $b$ y $c$ de $-bc=a^2+1$ ..

Comprobemos la última solución de la lista.
En efecto,

$ \begin{bmatrix} 8 & 5 \\-13 & -8\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 5 \\-13 & -8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \cdot {8} - 5\cdot 13 & 8\cdot 5 - 5 \cdot 8 \\ -13\cdot 8 + 8 \cdot 13 & -13\cdot 5 +8\cdot 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\0 & -1\end{bmatrix} $ .

Answer 4

He aquí una forma computacional práctica de resolverlo, que tiene la ventaja de generalizarse a problemas más difíciles para los que los "trucos" utilizados en las otras respuestas pueden no ser aplicables. Esto no constituye una "prueba" matemática, pero es una solución matemática aplicada constructiva y práctica. Solución utilizando YALMIP en MATLAB.

x=sdpvar(3,3,'full')
optimize(x^2==[1 0 0;0 -1 0;0 0 -1],[],sdpsettings('solver','baron'))

disp(value(x))
    1.0000         0         0
         0   -0.3562   -0.9815
         0    1.1481    0.3562

disp(value(x^2))
    1.0000         0         0
         0   -1.0000         0
         0         0   -1.0000

Ahora, para mostrar el poder de este enfoque, digamos que queremos encontrar una raíz cuadrada, tal que el elemento (3,3) sea minimizado, sujeto a la restricción de que todos los elementos de la raíz cuadrada tengan una magnitud menor o igual a 5.

x=sdpvar(3,3,'full')
optimize([x^2==[1 0 0;0 -1 0;0 0 -1],-5<=x(:)<=5],x(3,3),sdpsettings('solver','baron'))

disp(value(x))
   -1.0000         0         0
         0    4.8990   -5.0000
         0    5.0000   -4.8990

disp(value(x^2))
    1.0000         0         0
         0   -1.0000         0
         0         0   -1.0000

Answer 5

Piensa en la construcción de $\mathbf C$ a través de $2\times2$ -matrices: si $J=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$, then $$J^2=-I=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}.$$ Así, utilizando la multiplicación por bloques, una solución obvia es $$B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}.$$