¿El teorema de extensión de Dorroh simplificar la teoría del anillo para el estudio de anillos con identidad?

Question

Me llegó a través de un teorema llamado Dorroh Extensión del Teorema durante la lectura de un libro de texto sobre el anillo de la teoría. Lo que el teorema esencialmente dice es que cualquier anillo de $R$ puede ser embebido en un anillo de $R^{\prime}$ con identidad, es decir, existe un sub-anillo $S^{\prime}$ $R^{\prime}$ tal que $R\cong S^{\prime}$. Lo que no puedo entender es la siguiente pregunta.

Por qué no este teorema simplificar el anillo de la teoría para el estudio de los anillos de identidad?

La forma más rápida respuesta que viene a mi mente es que un sub-anillo de un anillo no es necesariamente un anillo con identidad. Pero es esta la única razón? Estaré agradecido por cualquier ayuda que se presta.

Edit: Prueba de la Dorroh Extensión del teorema.

Considere la posibilidad de $R\times\mathbb{Z}$. Definir las operaciones de las $(a,m)+(b,n)=(a+b,m+n)$$(a,m)(b,n)=(ab+an+mb, mn)$. A continuación, $R\times \mathbb{Z}$ es un anillo con identidad $(0,1)$. Y $R\times\{0\}$ es un sub-anillo de $R\times\mathbb{Z}$. Por otra parte $f:R\to R\times\{0\}$ $f(a)=(a,0)$ es un isomorfismo. Por lo tanto el teorema de "Cualquier anillo puede ser incrustado en un anillo con identidad".

Answer 1

He visto la incrustación como excusa para no estudiar rngs más de una vez, pero nunca una justificación convincente.

Para una cosa, sería de esperar una sólida demostración de cómo las propiedades de un generador de números aleatorios son o no son preservados a través de la Dorroh extensión. Pero que nunca aparece, y de hecho, pocas personas saben de las propiedades de la extensión, y con bastante frecuencia las propiedades no se conservan. Por otra parte, ejemplos interesantes de rng teoría existen, por lo que no es corta y seca como uno es llevado a creer.

Para el caso de desestimar el estudio de los generadores de números aleatorios no es muy de fondo en la impresión. Sería interesante ver a alguien implementar y dar una aplicación rigurosa de lo que puede ser remediado mediante Dorroh extensiones, sin embargo.