¿Función de respuesta de aproximación (RPA) de fase aleatoria obedecen las relaciones de Kramers-Kronig?

Question

Considere la cámara de Coulomb de la interacción de electrones líquido, que en el azar de la fase de aproximación (RPA) toma la forma $$ V(q,\omega)=\frac{v(q)}{1-v(p)\Pi(q,\omega)}, $$ donde $v(q)$ es la no interacción de Coulomb, $\Pi(q,\omega)$ es el gas de electrones polarizabilidad.

Es conocida la exacta proyectó la interacción $V_\mathrm{exact}(q,\omega)$ obedece a la Kramers-Kronig relaciones $$ \mathrm{Re}\,V_\mathrm{exacta}(q,\omega)=v(q)-\frac1\pi\mathcal{P}\int d\omega'\frac{\mathrm{Im}\,V_\mathrm{exacta}(q,\omega')}{\omega\omega'}, $$ $$ \mathrm{Im}\,V_\mathrm{exacta}(q,\omega)=\frac1\pi\mathcal{P}\int d\omega'\frac{\mathrm{Re}\,V_\mathrm{exacta}(q,\omega')-v(q)}{\omega\omega'}. $$ La polarizabilidad $\Pi(q,\omega)$, siendo un retardado en función de la respuesta, también obedece a las relaciones similares (aunque sin $v(q)$ en los lados de la parte derecha).

¿El RPA interacción $V(q,\omega)$ obedecen a la de Kramers-Kronig relaciones? Si sí, ¿cómo se puede demostrar?

Answer 1

Sí. El RPA función de la respuesta $V(\omega)$ todavía obedece a la de Kramers-Kronig (KK) la relación, mientras que la polarización de la función $\Pi(\omega)$ obedece a la KK relación. El punto clave es mostrar que todos los de orden superior de los postes que aparecen en la RPA expansión puede ser reducida a la de primer orden mediante el KK relación de $\Pi(\omega)$, de tal manera que no causa un problema.

El KK relación de la polarización de la función implica que podemos expresar $\Pi(\omega)$ $$\Pi(\omega)=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+},$$ donde $A_\Pi(\omega)\equiv -2\Im\Pi(\omega)$ es la función espectral de la polarización. A continuación, vamos a centrarnos en el plazo $v\Pi(\omega)v\Pi(\omega)v$ en el RPA de expansión. Queremos mostrar que su sencond-el fin de los polos en realidad puede ser resuelto por la primera orden de los polos y por lo tanto no problemático. Para ver esto, partimos de $$\begin{split}\Pi(\omega)^2&=\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\omega_2}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}0_+}\frac{A_\Pi(\omega_2)}{\omega-\omega_2+\mathrm{i}0_+}\\ &=\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\omega_2}{2\pi}\Big(\frac{1}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}0_+}-\frac{1}{\omega-\omega_2+\mathrm{i}0_+}\Big)\frac{A_\Pi(\omega_1)A_\Pi(\omega_2)}{\omega_1-\omega_2}\end{split}.$$ Entonces podemos definir una nueva función espectral $$A_\Pi^{(2)}(\omega)=2\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega)A_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'}=2A_\Pi(\omega)\Re\Pi(\omega)=-4\Im\Pi(\omega)\Re\Pi(\omega),$$ que resuelve el polo $(\omega-\omega')^{-1}$ de los integrantes por el KK relación de $\Pi(\omega)$, por lo tanto reduciendo el total de la orden de los polos por uno. La función espectral $A_\Pi^{(2)}$ será tan analítica como $\Pi(\omega)$, que es exactamente la función espectral de $\Pi(\omega)^2$ con sencond-orden de polos: $$\Pi(\omega)^2=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A^{(2)}_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+}.$$ Siguiendo el enfoque anterior, es sencillo mostrar que todos los de orden superior, en términos de la RPA de expansión tiene la resolución espectral de la misma forma en términos de primer orden polos sólo. $$\Pi(\omega)^n=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A^{(n)}_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+}.$$ Todos los de orden superior funciones espectrales $A_\Pi^{(n)}(\omega)$ se puede expresar como un polinomio de $\Re\Pi(\omega)$$\Im\Pi(\omega)$. Así que mientras a $\Pi(\omega)$ obedece a la KK relación, todos los términos de la RPA ampliación también obedece a la KK relación, así como el EPR función de la respuesta $V(\omega)$.