Permutación de cosets

Question

Sea $G$ sea un grupo finito y $\gamma \in \text{Sym}(G)$ tal que $\gamma (1) = 1$ y $\gamma (gH) = \gamma (g)H$ para todos $g\in G$ y $H\leq G$ .

Es decir $\gamma$ induce una permutación de los cosets izquierdos de cualquier subgrupo de $G$ .

Necesito demostrar que $\gamma$ fija cualquier coset izquierdo del Centro $C(G)$ de $G$ es decir $$\gamma(g)C(G) = gC(G)\,.$$

He intentado algunos cálculos sencillos que no han funcionado. Ahora creo que son necesarios algunos argumentos más estructurales. ¿Alguna idea?

Answer 1

He encontrado un contraejemplo utilizando $\textsf{GAP}$ . El grupo es $$ G \;=\; \mathbb{Z}_9 \rtimes \mathbb{Z}_3 \;=\; \langle a,b \mid a^9=b^3=1,b^{-1}ab=a^4\rangle, $$ con la función $\gamma\colon G\to G$ definido por $$ \gamma\bigl(a^j b^k\bigr) \;=\; a^{-j} b^{-k}. $$ Según $\textsf{GAP}$ esto permuta los cosets izquierdos de cada subgrupo de $G$ . De hecho, los subgrupos propios no triviales de $G$ son

1. Los subgrupos cíclicos $\langle a^3\rangle$ , $\langle b\rangle$ , $\langle a^3b\rangle$ y $\langle a^6b\rangle$ de orden $3$ ,

2. Los subgrupos cíclicos $\langle a\rangle$ , $\langle ab\rangle$ y $\langle ab^2\rangle$ de orden $9$ y

3. El subgrupo $\langle a^3,b\rangle$ de orden $9$ ,

por lo que se podría comprobar esta afirmación a mano sin demasiados problemas. Sin embargo, el centro de $G$ es $\langle a^3\rangle = \{1,a^{-3},a^3\}$ Así que $\gamma$ cambia los cosets $\{a,a^{-2},a^4\}$ y $\{a^{-1},a^{-4},a^2\}$ .

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He aquí algunas observaciones y comentarios más:

1. La afirmación es cierta si $\gamma$ es un automorfismo de $G$ . Entonces $\gamma$ debe fijar cada subgrupo de $G$ por lo que es un automorfismo de potencia . Por a resultado de C. Cooper se deduce que $\gamma$ es central en el grupo de automorfismos, así que por el argumento al final del post de Matt Samuel (ahora borrado), se deduce que $\gamma$ fija todos los cosets del centro.

2. Una biyección $\gamma$ entre dos grupos que satisfacen las condiciones dadas se conoce como una $\mathfrak{R}$ -isomorfismo. Véase la sección 9.4 de Schmidt, Entramados de subgrupos de grupos . (La parte sobre $\mathfrak{R}$ -isomorfismos comienza en pág. 530 .)