He encontrado un contraejemplo utilizando $\textsf{GAP}$ . El grupo es $$ G \;=\; \mathbb{Z}_9 \rtimes \mathbb{Z}_3 \;=\; \langle a,b \mid a^9=b^3=1,b^{-1}ab=a^4\rangle, $$ con la función $\gamma\colon G\to G$ definido por $$ \gamma\bigl(a^j b^k\bigr) \;=\; a^{-j} b^{-k}. $$ Según $\textsf{GAP}$ esto permuta los cosets izquierdos de cada subgrupo de $G$ . De hecho, los subgrupos propios no triviales de $G$ son
-
Los subgrupos cíclicos $\langle a^3\rangle$ , $\langle b\rangle$ , $\langle a^3b\rangle$ y $\langle a^6b\rangle$ de orden $3$ ,
-
Los subgrupos cíclicos $\langle a\rangle$ , $\langle ab\rangle$ y $\langle ab^2\rangle$ de orden $9$ y
-
El subgrupo $\langle a^3,b\rangle$ de orden $9$ ,
por lo que se podría comprobar esta afirmación a mano sin demasiados problemas. Sin embargo, el centro de $G$ es $\langle a^3\rangle = \{1,a^{-3},a^3\}$ Así que $\gamma$ cambia los cosets $\{a,a^{-2},a^4\}$ y $\{a^{-1},a^{-4},a^2\}$ .
He aquí algunas observaciones y comentarios más:
-
La afirmación es cierta si $\gamma$ es un automorfismo de $G$ . Entonces $\gamma$ debe fijar cada subgrupo de $G$ por lo que es un automorfismo de potencia . Por a resultado de C. Cooper se deduce que $\gamma$ es central en el grupo de automorfismos, así que por el argumento al final del post de Matt Samuel (ahora borrado), se deduce que $\gamma$ fija todos los cosets del centro.
-
Una biyección $\gamma$ entre dos grupos que satisfacen las condiciones dadas se conoce como una $\mathfrak{R}$ -isomorfismo. Véase la sección 9.4 de Schmidt, Entramados de subgrupos de grupos . (La parte sobre $\mathfrak{R}$ -isomorfismos comienza en pág. 530 .)
1 votos
SUGERENCIA: Intente demostrar que $\gamma(g)$ se conjuga con $g$ .
0 votos
¿Estás diciendo que la condición $\gamma(g)H=\gamma(gH)$ debe cumplirse para todos los subgrupos $H<G$ ?
0 votos
Sí, es correcto.
2 votos
@Crostul Sinceramente no soy capaz de ver eso $\gamma (g)$ y $g$ se conjugan.
0 votos
En $\gamma$ fija todos los subgrupos, para cada elemento $g$ se entiende que $\gamma(g)$ genera $\langle g\rangle$ .
1 votos
Por si sirve de algo, la notación estándar para el centro de un grupo es $Z(G)$ (del alemán centro creo). La notación $C(H) = C_G(H)$ está reservado para el centralizador de un subgrupo.