Muestran que

Question

Que $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$ $5$ distintas positiva real números, muestran que:

Existen cuatro distintos números reales positivo $x_{i},x_{j},x_{k},x_{l}$ donde $i,j,k,l\in \{1,2,3,4,5\}$, que $$\left|\frac{x_{i}}{x_{j}}-\frac{x_{k}}{x_{l}}\right|<\frac{1}{2}$ $

Parece que utilizan principio de casillero para solucionarlo. Pero, ¿cómo usarlo?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad deje $0 < x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$.

A continuación, para todos los $i < j$ $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ tenemos $0 < \dfrac{x_i}{x_j} < 1$.

Si por algún par de $x_i,x_j$ tenemos $\dfrac{x_i}{x_j} = \dfrac{1}{2}$ hay $k,l$ diferente de la $i,j$ tal que $k < l$. Por lo tanto $0 < \dfrac{x_k}{x_l} < 1$ y, a continuación,$-\dfrac{1}{2} < \dfrac{x_k}{x_l} - \dfrac{x_i}{x_j} < \dfrac{1}{2}$.

De lo contrario, cada uno de los siguientes en $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ o $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$:

$$\dfrac{x_1}{x_2}, \quad \dfrac{x_1}{x_3}, \quad \dfrac{x_2}{x_3}, \quad \dfrac{x_1}{x_4}, \quad \dfrac{x_2}{x_4}, \quad \dfrac{x_3}{x_4}, \quad \dfrac{x_1}{x_5}, \quad \dfrac{x_2}{x_5}, \quad \dfrac{x_3}{x_5}, \quad \dfrac{x_4}{x_5}.$$

Por el principio del palomar, al menos uno de estos intervalos contiene al menos $5$ de este fracciones. De los $5$ hay al menos $2$ $\dfrac{x_i}{x_j}$ $\dfrac{x_k}{x_l}$ donde $x_i,x_j,x_k,x_l$ son cuatro números diferentes. La diferencia de estas dos fracciones es en $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.

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EDIT: Si la afirmación de que entre el $5$ fracciones hay al menos dos que más le convengan parece insuficiente, a continuación, utilizar el siguiente argumento:

Deje $S$ el conjunto de los (al menos) $5$ fracciones. Deje $\dfrac{x_a}{x_b}\in S$. A continuación, vamos a $S_a = \left\{\dfrac{x_i}{x_j}\in S\mid x_i, x_j\neq x_a\right\}$$S_b = \left\{\dfrac{x_i}{x_j}\in S\mid x_i, x_j\neq x_b\right\}$. Este juegos no son vacías, ya que cada una de las $x_i$ aparece exactamente $4$ veces entre nuestro conjunto total y tenemos (al menos) $5$ fracciones.

Si $S_a\cap S_b \neq \emptyset$ a continuación, se realiza: $\dfrac{x_a}{x_b}$ y cualquier elemento en $S_a\cap S_b$ forma adecuada par.

De lo contrario, todos los elementos de a $S_a$ son $\dfrac{x_b}{x_i}$ o $\dfrac{x_i}{x_b}$ algunos $x_i$, y del mismo modo todos los elementos en $S_b$ son de la forma $\dfrac{x_a}{x_j}$ o $\dfrac{x_j}{x_a}$ algunos $x_j$. Por otra parte, $S_a$ $S_b$ forma una partición de $S\setminus \left\{\frac{x_a}{x_b}\right\}$. Por lo $|S_a| + |S_b|$ es (al menos) $4$, y en el prigeonhole principio, al menos uno de estos dos conjuntos contiene al menos dos elementos.

Sin pérdida de generalidad deje $S_a$ ser este conjunto y nos deja seleccionar cualquier elemento en $S_b$. Involucra $x_a$ y algunos $x_c$, es decir, es $\dfrac{x_a}{x_c}$ o $\dfrac{x_c}{x_a}$. A continuación, $S_a$ debe contener al menos un elemento en donde el numerador y el denominador no son $x_c$. De hecho, dado que todos los elementos en $S_a$ son de la forma $\dfrac{x_b}{x_i}$ o $\dfrac{x_i}{x_b}$, entonces el único caso en que esto no es cierto es que si $S_a = \left\{\dfrac{x_b}{x_c},\dfrac{x_c}{x_b}\right\}$, pero esto no puede ser desde luego una de las fracciones sería mayor que en el $1$.

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EDIT 2: Esto podría ser más conciso, aunque la primera respuesta es más general. Empecemos como en la respuesta original, pero ahora vamos a considerar solamente las fracciones

$$\dfrac{x_1}{x_2},\qquad \dfrac{x_2}{x_3},\qquad \dfrac{x_3}{x_4},\qquad\dfrac{x_4}{x_5},\qquad \dfrac{x_1}{x_5}.$$

Por el principio del palomar hay, al menos, $3$ elementos en cualquiera de las $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ o en $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$. Deje $S$ ser ese conjunto.

Tenemos dos casos a considerar:

• $\dfrac{x_1}{x_5}\notin S$. Luego de que ya sea tanto en $\dfrac{x_1}{x_2},\dfrac{x_3}{x_4}\in S$ o ambos $\dfrac{x_2}{x_3},\dfrac{x_4}{x_5}\in S$.

• $\dfrac{x_1}{x_5}\in S$. Luego de cualquiera de los dos $\dfrac{x_1}{x_2},\dfrac{x_4}{x_5} \in S$ o, al menos, uno de $\dfrac{x_2}{x_3},\dfrac{x_3}{x_4}\in S$.

En cualquier caso tenemos un adecuado par de fracciones en $S$ y su diferencia es en $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.

Answer 2

Asumir WLOG que los números están ordenados $0 \lt x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt x_4 \lt x_5\,$. A continuación, todas las fracciones $\,x_k/x_{k+j} \in (0,1)\,$$\,k=1,2,3,4\,$$\,j \ge 1\,$.

Si alguno de ellos $\,x_k/x_{k+j}=1/2\,$ entonces todas las otras fracciones dentro de $\,\lt 1/2\,$ de la misma, por lo que la desigualdad es obviouly satisfecho.

De lo contrario, $\,x_1/x_2\,$ debe estar bien estrictamente en $\,(0,1/2)\,$, o estrictamente en $\,(1/2,1)\,$. Supongamos WLOG la antigua, a continuación, si alguno de los dos fracciones $\,x_3/x_4,x_4/x_5\,$ que no implican $\,x_1,x_2\,$ se encuentra en $\,(0,1/2)\,$ así, entonces sería dentro de$\,\lt 1/2\,$$\,x_1/x_2\,$. Supongamos, entonces, que tanto en $\,x_3/x_4,x_4/x_5 \in (1/2,1)$. Por el mismo razonamiento que antes:

• $\,x_3/x_4 \in (1/2,1)\,$ requiere $\,x_2/x_5 \in (0,1/2)\,$, de lo contrario $\,\big|x_3/x_4 - x_2/x_5\big| \lt 1/2\,$

• $\,x_4/x_5 \in (1/2,1)\,$ requiere $\,x_1/x_3 \in (0,1/2)\,$, de lo contrario $\,\big|x_4/x_5 - x_1/x_3\big| \lt 1/2\,$

Pero ambos $x_2/x_5$ $x_1/x_3$ pertenecen a $\,(0,1/2)\,$, lo $\,\big|x_1/x_3 - x_2/x_5\big| \lt 1/2\,$.