¿Cómo puedo resolver la siguiente ecuación funcional? $$f(x)+12f^{-1}(x)=\frac{1}{x}f(x)$$ He estado haciendo muchas ecuaciones funcionales, pero todavía no he hecho ninguna que tenga la función y su inversa juntas. Todo lo que he hecho hasta ahora es averiguar que $f(x)$ tiene un punto fijo en $x=\frac{1}{13}$ y que $f(0)$ inicia un ciclo de órbita $2$ .
Gracias. ¡Se agradece toda la ayuda!
Tenemos
$$ y=f(x) $$
y:
$$ x=f^{-1}(y)=g(y) $$
Así,
$$ (\frac{1}{x}-1)f(x)=12f^{-1}(x)\\ x=f(f^{-1}(x))=f(\frac{1}{12}(\frac{1}{x}-1)f(x))\\ $$
Así, podemos formular una búsqueda numérica recursiva en $f$ :
$$ min_{df}\left|x-f\left(\frac{1}{12}(\frac{1}{x}-1)f(x)+df(x)\right)+df\left(\frac{1}{12}(\frac{1}{x}-1)f(x)\right)\right|\\ $$
Sin embargo, he sido incapaz de hacerlo converger... Quizás este problema no tenga una solución clara, pero tampoco he podido probarlo. He discretizado un vector $f$ sobre varios rangos de prueba y se aplicó una búsqueda de gradiente de Newton Raphson sobre la función $f$ definida de esta manera, con diferentes tasas de iteración, considerando la expresión indicada a minimizar tanto para el vector $x$ la recursión actual para $f$ y el nuevo paso $df$ evaluado en el valor de la función indicada. Pero aún no tengo ningún resultado.
Esta no es una respuesta completa, sino un enfoque alternativo que se suma al de hypfco. Tenemos $y = f(x)$ y $x = f^{-1}(y)$ .
Escribir su ecuación como $(\frac{1}{x} - 1)f(x) = 12f^{-1}(x)$ obtenemos
$$(\frac{1}{x} - 1)y = 12f^{-1}(f^{-1}(y))$$ $$(\frac{1}{f^{-1}(y)} - 1)y = 12f^{-1}(f^{-1}(y))$$ $$y = \frac{12}{\frac{1}{f^{-1}(y)} - 1}f^{-1}(f^{-1}(y))$$ $$y = -12\frac{f^{-1}(y)}{f^{-1}(y) - 1}f^{-1}(f^{-1}(y))$$
Si sólo escribimos $g(x) = f^{-1}(x)$ podemos resolver el problema encontrando un $g$ tal que:
$$-12\frac{g(x)}{g(x)-1}g(g(x)) = x$$
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En $f$ ¿es necesario tener un dominio real y un codominio?
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Puede cambiar la función inversa por una anidación con $$f(f^{-1}(x))=x=f\left(\frac{1-x}{12x}f(x)\right)$$ o $$f(f(x))+12x=\frac{f(f(x))}{f(x)}.$$