Series con factorial.

Question

Evaluar $$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{99}{100!}$$

Mi intento,

Lo cambié por $$\sum_{n=1}^{99} \frac{n}{(n+1)!}$$

La verdad es que no sé cómo intentarlo ya que consiste en un factorial. ¿Alguien puede darme alguna pista? Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia $$\frac{n}{(n+1)!}= \frac{n+1 -1}{(n+1)!} =\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$$

Answer 2

Este es un ejemplo clásico de un serie telescópica ¡! Primero estaría bien desplazar los límites de la suma para obtener el factorial de una función más cómoda, y luego podemos dividir la fracción para mostrar cómo se telescopia:

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{99} \frac{n}{(n+1)!} &= \sum_{n=2}^{100} \frac{n-1}{n!} \\ &= \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \\ &= \frac{1}{(2-1)!} - \frac{1}{100!} \\ &= 1- \frac{1}{100!} \end{align}$$

Como apunte, nótese que el resultado de esta serie converge hacia $1$ como $n$ se acerca al infinito.