Irracionalidad o la racionalidad de p + q dado que pq = 1

Question

Que $p,q$ son números irracionales tales que $pq=1$. Entonces ¿qué podemos decir sobre el carácter de $p+q$? ¿es decir, $p+q$ es racional o irracional? Probablemente, creo que es irracional pero no podía probar.

Answer 1

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Answer 2

La pregunta entonces es, si $p$ es irracional, entonces es $p+\frac{1}{p}$ irracional?

En otras palabras, usted quiere saber si $$ \frac{p^2+1}{p}=\frac{a}{b} $$ para algunos enteros $a$$b$.

Vamos a intentar un valor de $\frac{a}{b}$. Vamos a tratar de $\frac{a}{b}=3$. Por lo tanto, estamos tratando de resolver:

$$ \frac{p^2+1}{p}=3. $$ Esto puede convirtió en $$ p^2-3p+1=0 $$ y resolver con la fórmula cuadrática: En este caso, $$ p=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}, $$ que es irracional. Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es que $p+q$ puede ser racional.

En general, podemos encontrar una $p$ que satisface las condiciones de la si $\frac{p^2+1}{p}\geq 2$. La mayoría de los resultados de esta son irracionales. Ciertamente, podemos reemplazar $\frac{a}{b}$ con un número irracional mayor que $2$ y obtener posibilidades de $p$ $\frac{1}{p}$ cuando su suma es irracional.

Answer 3

Sugerencia: considerar por ejemplo:

• $\;p=\sqrt{2}, q= 1 / \sqrt{2}$

• $\;p=3+2\sqrt{2}, q= 3 - 2 \sqrt{2}$

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[ EDITAR ] Para más ejemplos de irrationals con producto $1$ y el:

• irracional suma: vamos a $p$ ser un trascendental número (como $\pi$ por ejemplo) y $q=1/p\,$, $p+q$ necesariamente va a ser trascendental, lo irracional; lo mismo para $p$ la suma entre un trascendental número y una expresión algebraica irracional (como$\pi+\sqrt{2}$, por ejemplo);

• racional suma: vamos a $p,q$ ser las raíces de la ecuación de $x^2 - n \,x + 1 = 0\,$ por entero $n \gt 2$. Tanto en $p,q$ son irracionales por racionales teorema de la raíz, y $pq=1\,$, $p+q=n\,$ por Vieta relaciones.

Answer 4

Que considerar $S=p+q$, $P=pq=1$ y $p>q$

Son de las raíces del polynom $P[X]=X²-SX+P=X²-SX+1$ $p$ y $q$.

$discriminant = \delta = S²-4 > 0$ Dado que $P[X]$ tiene dos raíces y son números irracionales. Entonces, $ p = \frac{S + \sqrt{S²-4}}{2}$ y $ q = \frac{S - \sqrt{S²-4}}{2}$

Tan pronto como $|S| > 2$ y $S²-4$ no es un cuadrado perfecto, usted puede elegir $S$ como usted quiere, racional o irracional. $p$ $q$ será irracional y la suma será lo que usted ha elegido.

Answer 5

Hay otro caso, es decir, $p$ y $q=\frac{1}{p}$ irrationals trascendental. En ese caso $p+q$ es necesariamente trascendental, por lo tanto irracionales, porque $p+\frac{1}{p}=r$ $r$ racional implicaría $p^2-pr+1=0$contradicción $p$ es trascendental.