$\sin 9^{\circ}$ $\tan 8^{\circ} $ ¿Cuál es mayor?

Question

$\sin 9^{\circ}$ $\tan 8^{\circ} $ ¿Cuál es mayor?

alguien me pregunta y dijo sin utilizar calculadora!!!!
ahora mi pregunta es, ¿cómo encontrar que es más grande?
¿Hay una forma lógica para encontrar?
¿S hay un método matemático para demostrar que es mayor?
Estoy agradecido por la guía, Consejo o solución

Answer 1

Cuando $0<x<1$ y $$\sin x>x-{x^3\over6},\qquad\tan x={\sin x\over \cos x}<{x\over 1-{x^2\over2}}\ ,$ $ por el teorema en la serie de alternos. Que $t:=1^\circ={2\pi\over 360}<{1\over50}$. Entonces $${\sin(9t)\over\tan(8t)}>{9t\over 8t}\left(1-{81t^2\over6}\right)\left(1-{64t^2\over2}\right)>{9\over8}\left(1-{273\over6}t^2\right)>1\ .$ $

Answer 2

Me gustaría comprobar los dos primeros términos de la serie de Taylor. $\sin 9^\circ \approx \frac \pi{20}-\frac {\pi^3}{6 \cdot 20^3}, \tan 8^\circ \approx \frac {2\pi}{45}+\frac {8\pi^3}{3 \cdot 45^3}$, por lo que $$\sin 9^\circ -\bronceado 8^\circ\approx \frac \pi{20}-\frac {\pi^3}{6 \cdot 20^3}-\frac {2\pi}{45}-\frac {8\pi^3}{3 \cdot 45^3}\\\approx \frac \pi{180}-\frac{(3^6+2^{10})\pi^3}{2^73^75^3}\\ \approx \frac \pi{180}(1-\frac {1753}{2^43^55}) \\ \aprox \frac \pi{180}(1-\frac {1753}{17440})\\ \gt 0$$ donde solía $\pi^2 \approx 10$. Alfa está de acuerdo, pero yo no comprobar hasta que fue hecho.

Answer 3

En términos de radián, $9^\circ = \frac{\pi}{20} \approx 0.157$ es razonable pequeño. Podemos utilizar la expansión en series de Taylor para estimar el valor de $\sin$$\tan$. Para las pequeñas $\theta$, tenemos

$$\sin\theta \approx \theta \frac{\theta^3}{6} \quad\text{ y }\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \approx \frac{\theta \frac{\theta^3}{6}}{1 - \frac{\theta^2}{2}} \approx \theta + \frac{\theta^3}{3} $$ Esto implica $$\bronceado^{-1}\theta \approx \theta \frac{\theta^3}{3}\quad\text{ y }\quad \bronceado^{-1}(\sin\theta) \approx \theta \frac{\theta^3}{6} - \frac{\theta^3}{3} = \theta\left(1 - \frac{\theta^2}{2}\right)$$

En orden para $\tan\phi$ es igual a $\sin 9^\circ$, $\phi$ debe ser alrededor de $$9^\circ \times \left( 1 - \frac{0.157^2}{2}\right) \aprox 9^\circ \times 0.98\;(\text{ o } 0.99???)$$ No importa lo que el valor real de último factor es, el $\phi$ necesario para hacer de $\tan\phi = \sin 9^\circ$ está mucho más cerca de a$9^\circ$$8^\circ$. Esto significa $\tan 8^\circ \le \sin 9^\circ$.

Answer 4

Te voy a mostrar una teórica para llegar a esta respuesta sin estos Taylor/la serie de Maclaurin aparece en las otras respuestas, a pesar de que esto iba a tomar un montón de tiempo para hacer a mano.

El programa de instalación

Deje $s=\sin x^\circ$ y tenga en cuenta que para $x<\dfrac\pi2$,$\cos x^\circ=\sqrt{1-s^2}$. A continuación, mediante la suma de las fórmulas repetidas ocasiones, nos encontramos con que: $$\tag{1}\sin \left(9x^\circ\right)=256s^9-576s^7+432s^5-120s^3+9s$$ $$\tag{2}\tan \left(8x^\circ\right)=\dfrac{\left(-128s^7+192s^5-80s^3+8s\right)\sqrt{1-s^2}}{128s^8-256s^6+160s^4-32s^2+1}$$

Para comparar los $\sin 9^\circ$$\tan 8^\circ$, tenemos un límite en $\sin 1^\circ$.

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La estimación de $\sin 1^\circ$

De un valor conocido es $\sin 15^\circ=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$. La suma de las fórmulas de darnos ese $\sin \left(15x^\circ\right)$ es
$$-16384 s^{15}+61440 s^{13}-92160 s^{11}+70400 s^9-28800 s^7+6048 s^5-560 s^3+15 s$$ Evaluar el polinomio en $s=\dfrac{1}{20}$ rendimientos $\dfrac{1363735274101499}{2000000000000000}>\dfrac12>\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$. Por lo tanto, $0<\sin1^\circ<\dfrac{1}{20}$ seguro. (En realidad, $\sin1^\circ$ es más como $1/50$.)

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Conclusión

La evaluación de los polinomios de (1) y (2) en $s=\sin x^\circ=\dfrac{1}{20}$ rendimiento $\sin \left(9x^\circ\right)=\dfrac{870269101}{2000000000}$$\tan\left(8x^\circ\right)=\dfrac{3900599\sqrt{399}}{184199201}<\dfrac{3900599*20}{184199201}<\dfrac{870269101}{2000000000}$.

Queda por comprobar por qué esto realmente significa $\sin 9^\circ$ es mayor que $\tan8^\circ$. Desde $\tan$ tiene una asíntota en $90^\circ$, $\tan{8x^\circ}$ debe adelantar $\sin{9x^\circ}$ en algún momento antes de $x=90/8$, por lo que la expresión tiene una asíntota en $s=\sin\left(\dfrac{90^\circ}{8}\right)=\dfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}\approx\dfrac15$. Considerando la concavidad, el $\tan$ función debe superar el $\sin$ función exactamente una vez antes de esto, y ya que no ha sucedido por $s=\dfrac{1}{20}>\sin 1^\circ$, $\boxed{\sin 9^\circ>\tan8^\circ}$ después de todo.

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Fotos

Esta es una gráfica de las dos funciones de $s$. $\tan$ supera $\sin$$s=.06$.

Si usted tuvo lo suficientemente grande como materiales de dibujo, usted podría ser capaz de comparar los valores directamente con una construcción de este tipo:

Answer 5

Esta pregunta puede ser resuelta mediante la expresión de estos valores en sus ampliaciones, a saber

$$ \sin x=x-\frac{x^6}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+...\\ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+... $$

Esto debería ponerlo en el camino para determinar cual de los dos es el más grande. A menor orden, el seno es claramente más grande, por lo que, a continuación, busque en el segundo término. El resto serán los términos de orden superior que no afecta el resultado. (Es probable que sea cierto el segundo plazo).