¿Por qué isn ' t el derivado direccional generalmente reducido al vector de la unidad?

Question

Estoy empezando a aprender cómo intuitiva de interpretar la derivada direccional, y no puedo entender por qué usted no reducir la escala de su vector de dirección $\vec{v}$ a ser un vector unitario.

Actualmente, mi intuición es la idea de cortar el 3D gráfica de la función a lo largo de su vector de dirección y, a continuación, calcular la pendiente de la curva creada por la intersección del plano.

Pero realmente no puedo entender cómo la derivada direccional sería una direccional de derivados si no se reduzca a ser un cambio en la unidad de longitud en la dirección de $\vec{v}$. Hay una comprensión intuitiva puedo ver? Yo estoy empezando así que tal vez no he llegado ahí todavía.

Nota, creo que puede ser una buena analogía para la linealización, como si de tomar "dos veces tan grande de un paso" en la dirección de $\vec{v}$ , entonces el cambio de la función debido a que el cambio en este paso es dos veces más grande. Es esta una buena manera de pensar?

Answer 1

La intuición creo que de para una derivada direccional en la dirección en $\overrightarrow{v}$ es que es la rapidez de los cambios en la función si la entrada cambia con una velocidad de $\overrightarrow{v}$. Así que si usted mueva la entrada a través del dominio de dos veces tan rápido, los cambios de función dos veces más rápido.

Más precisamente, esto se corresponde con el siguiente proceso que se relaciona de cálculo en varias variables para el cálculo en una sola variable. En particular, se puede definir una línea de base en un punto de $\overrightarrow{p}$ con una velocidad de $\overrightarrow{v}$ paramétricamente como una curva: $$\gamma(t)=\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{v}.$$ Este es un mapa de$\mathbb R$$\mathbb R^n$. Sin embargo, si $f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$ es otro mapa, podemos definir el compuesto $$(f\circ \gamma)(t)=f(\gamma(t))$$ y observar que este es un mapa de $\mathbb R\rightarrow\mathbb R$, por lo que podemos estudiar sus derivados! En particular, se define la derivada direccional de $f$ $\overrightarrow{p}$ en la dirección de $\overrightarrow{v}$ a ser el derivado de la $f\circ\gamma$$0$.

Sin embargo, cuando hacemos esto, vemos sólo una "rebanada" del dominio de $f$ - en particular, sólo se puede ver la línea que pasa a través de $\overrightarrow{p}$ en la dirección de $\overrightarrow{v}$. Esto corresponde a la noción de rebanar usted menciona en su pregunta. En particular, no vemos los valores de $f$ fuera de la imagen de $\gamma$, por lo tanto sólo el estudio de $f$ en algunas conjunto restringido.

Answer 2

Que $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ y (si el límite existe) $$D_v f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+hv)-f(x)}{h}$$ be the directional derivative in the direction $v $. This way, if the function is differentiabble $$ D_{au+bv} f(x) = a\, D_{u} f(x)+b\, D_{v} f(x) \qquad (a,b) \in \mathbb{R}^2$$ ie. the directional derivative is linear in the direction. Indeed $$D_{v} f(x) = J_x v$$ where $ J_x$ es la matriz de Jacobian.

Usted tendrá algunos problemas para decir y entender si restringe a $\|v\|=1$, o peor si se normaliza $v$

Answer 3

Vectores unitarios son muy sobrevalorado — la noción de vector es mucho más computacionalmente conveniente cuando se trata como un todo en lugar de descomponer en separar las nociones de dirección y magnitud.

Puedo reclamar esto conduce a una mejor comprensión.

Por lo tanto, uno no debe introducir vectores unitarios por hábito — tal manipulación debe ser reservado para esas circunstancias cuando se hace algo útil.

Del mismo modo, una buena definición o herramienta computacional no deben forzar a los vectores unitarios en el usuario, a menos que haya una muy buena razón para hacerlo.

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Algebraicamente, la derivada direccional no es la principal idea — la idea principal es la diferencial de una función: en términos usuales, $\nabla f$ es la fila del vector dado por

$$ \nabla f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} f_1(\vec{x}) & f_2(\vec{x}) & f_3(\vec{x}) \end{pmatrix} $$

donde por $f_k$, me refiero a la derivada de la función $f$ $k$- ésimo lugar. La derivada direccional es simplemente el producto de la diferencia con la (columna) vector:

$$ \nabla_\vec{v} f = (\nabla f) \vec{v} $$

Como tal, la restricción a la unidad de vectores no es natural cosa que hacer. Reescalado el vector de entrada a ser un vector unitario es muy antinatural.

Tenga en cuenta que algunas personas usan el $\nabla f$ a referirse a un vector columna, o incluso tratar de fila y vectores columna como la misma cosa. Esto es desafortunado, porque es computacionalmente torpe cuando se cambio de variables, y se interpone en el camino de la comprensión de la diferencia entre los vectores y covectors, y la estrecha relación entre el interior del producto y de la transposición de la operación.

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Por último, vale la pena señalar que los instrumentos derivados — incluso las derivadas direccionales — sentido en contextos donde no existe la noción de longitud, y por lo tanto no existe la noción de una "unidad" de vector que puede ser aplicado.

Answer 4

Me sentía incómodo acerca de esto también. Un punto es que no hay nada de malo en permitir a $\vec v$ no un vector unitario, y podría decirse que es más sencillo para omitir este requisito ya no es necesario de todos modos. Otro punto es que a veces es interesante y útil para pensar la derivada direccional $D_{\vec v}f(x)$ como una función de la $\vec v$, $x$ mantiene fijo. Esta función tiene la propiedad de que si la escala de la entrada, la salida se pone a escala de la misma manera. Pero para hacer esta declaración, no debemos exigir $\vec v$ a ser un vector unitario.

Answer 5

Originalmente dejado comentarios en otras respuestas, pero quizás ellos merecen ser combinados en una respuesta de su propio.

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Para hacer el razonamiento en que Milo la respuesta de menos abstracta, imaginar la función de $f$ que estamos interesados en que da la altitud de un punto determinado de la tierra, y que nos está conduciendo alrededor. A continuación, nuestra velocidad al pasar por el punto de $p$ está dado por algunos vectores $v$, y podemos trabajar la velocidad de nuestra altitud está cambiando por encontrar la derivada direccional de $f$ en la dirección de $v$ (a punto de $p$).

Usted debe realmente pensar de derivadas direccionales en términos de una función de $\nabla_p$, el gradiente de $f$ (a $p$), que toma cualquier vector basado en $p$ como entrada y da la derivada direccional de $f$ en la dirección de $v$ (a punto de $p$) como de salida. Como una función de los vectores basados en $p$, $\nabla_p$ es lineal (como user1952009 indicado), y esto es lo que hace tan útil: por ejemplo, se sigue que, para cualquier par de vectores $v$, $w$, $\nabla_p(v+w) = \nabla_p(v) + \nabla_p(w)$. Y, como usted ha dicho, $\nabla_p(av) = a\nabla_p(v)$ para cualquier escalar $a$.

En general, la razón de derivados son útiles, en primer lugar, es precisamente porque nos permiten aproximar arbitraria de funciones diferenciables cerca de un punto dado, utilizando sólo las funciones lineales. Estos últimos son mucho más sencilla, con el buen comportamiento se ilustra arriba, lo que permite a muchas útil construcciones - primero en una sola y multi-variable de cálculo, y más tarde en el diferencial y geometría de Riemann. Por ejemplo, el teorema fundamental del cálculo (que la diferenciación y la integración son "inversa" de las operaciones) se generaliza a Stokes teorema para los colectores, un resultado que es a la vez hermoso y utilizada en un increíblemente diversa gama de opciones de configuración.