Módulos $M$ tal que el automorfismo de $M \otimes M \otimes M$ inducida por la permutación $(123)$ es la identidad

Question

He estado luchando con el siguiente problema por un par de días y no me parece más:

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Me gustaría conseguir (algo así como) una clasificación de todos los finitely generadas $R$-módulos de $M$ que satisfacen la siguiente condición:

Cuando nos fijamos en $M \otimes_R M \otimes_R M$, la permutación (123) induce un automorphism de $M \otimes_R M \otimes_R M$ mediante el envío de $a \otimes b \otimes c$$c \otimes a \otimes b$. Exijo que este automorphism ser el mapa de identidad. En otras palabras, en $M \otimes_R M \otimes_R M$, los elementos $a \otimes b \otimes c, c \otimes a \otimes b, b \otimes c \otimes a$ debe ser la misma.

Si $R$ es un campo, es fácil ver que la única que no es trivial finitely generadas $R$-módulos (es decir, finito-dimensional espacios vectoriales) que cumplen esta condición son el 1-dimensional. Además, uno ve más general que todas las cíclico módulos satisfacen la condición. Hasta ahora he ni venga con un ejemplo de un no-cíclico módulo que cumple la condición, ni fui capaz de probar que todos los módulos que satisfagan esta condtion debe ser cíclica.

Puede alguien ayudar con este asunto?

Answer 1

No es cierto que un módulo que cumple la condición anterior es cíclico. Por ejemplo, es posible que $M \neq 0$ pero $M \otimes M$ (y por tanto, mayor tensor de competencias) son cero. Considere por ejemplo, $M = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ respecto de los enteros. A continuación, $$M \otimes M = \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0$$ ya para el tensor de con $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es el tensor de más de $\mathbb{Q}$ y tomar un cociente, y una torsión de grupo tensored con $\mathbb{Q}$ es cero.

Ahora, supongamos $M$ es finitely generado. El ejemplo anterior no era (y, de hecho, el anterior fenómeno no puede suceder por una finitely módulo generado). Entonces es fácil ver que, si $M$ satisface su condición, también lo hace la base de cambio de $M \otimes_R R'$ $R'$ cualquier $R$-álgebra (considerado como un $R'$-módulo, que es!) porque ampliación de la base es un monoidal functor con respecto al producto tensor. De ello se deduce que para cualquier primer ideal $\mathfrak{p}$, $M \otimes k(\mathfrak{p})$ (para $k(\mathfrak{p})$ el residuo de campo, es decir, el cociente de campo de los residuos anillo) satisface esta propiedad, por lo que a partir de lo que han demostrado sobre espacios vectoriales, tiene rango en la mayoría de uno. Por lo tanto todas las fibras de $M$ son de rango en la mayoría de uno. Así al menos lo $M$ está "cerca" de ser cíclica.

De manera más general, la observación anterior sobre la base de cambio reduce la cuestión para el caso de un anillo local, porque para comprobar que dos cosas son iguales, basta con comprobar en todas las localizaciones. Por Nakayama del lema, se sigue que, para un anillo local, y de la observación de un campo, cualquier módulo de la satisfacción de su propiedad es de hecho cíclico. Para locales de los anillos, por lo tanto, tienen un si y sólo si la instrucción.

Poner las observaciones anteriores, todos juntos, podemos encontrar:

Un módulo satisface la propiedad (si y sólo si la localización en cada uno de los prime es cíclico (como un módulo más de la localizadas anillo).