Una posible pregunta tonta sobre derivado

Question

Fui para resolver algunos problemas de diferenciación al encontrar la función

$$g(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}.$$

Así que pensé: si defino la función $f:\mathbb{R_{x>0}}\to \mathbb{R}$ como

$$f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}$$

¿Qué tipo de información tengo sobre la función $f$? ¿Es continua o diferenciables, en algún "sentido"? Si Si, es correcto decir por diferenciación implícita que

$$f'(x)=\frac{1}{2f(x)-1}?$$

Muchas gracias.

Answer 1

Si $$f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}$$ then assuming this function actually converges for a particular $x$ (de hecho, tal y como está, su dominio no pueden ser adecuadamente restringido para la convergencia, haciendo que su "función" no necesariamente bien definidos). A continuación, $$f(x)=\sqrt{x+f(x)}$$ $$[f(x)]^2-f(x)=x$$ Implictly, $$2f'(x)f(x)-f'(x)=1$$ $$f'(x)=\frac{1}{2f(x)-1}$$ Esta totalmente supone que su función es, de hecho, una función. En realidad se puede solucionar esto. Por la fórmula cuadrática, tenemos $$f(x)=\frac{1\pm\sqrt{1+4x}}{2}$$ Así que, claramente, al menos, $x\in[-\frac{1}{4},\infty)$. El dominio que has elegido, $(0,\infty)$, entonces se ve bien. Ahora para lidiar con ese $\pm$ signo. Su función, en su forma original es no negativo, por lo que sólo podemos tomar la negativa de la rama de $$\frac{1-\sqrt{1+4x}}{2}\geq0$$ $$\sqrt{1+4x}\leq 1$$ $$1+4x\leq 1$$ $$x\leq 0$$ Lo cual es maravilloso, ya que por nuestra restricción en el dominio, no necesitamos considerar la negativa de la rama. Por lo tanto, la función está bien definida, y es: $$f(x)=\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2},x>0$$ Que es continua y derivable en su dominio.