Soportes de Poisson del problema de Kepler

Question

Para el hamiltoniano de una partícula de masa unidad en un potencial de kepler:

$$H = \frac{1}{2}\mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - \frac{\mu}{r}$$

El vector momento angular viene dado por: $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

Sabe y puede demostrar que los soportes de poisson de $\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}$, $\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}$ y $\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}$ con cualquier componente del ímpetu angular vector algebraico, desaparecen pero ¿qué es el razonamiento geométrico detrás de esto? Estoy tratando de desarrollar una intuición mejor sobre esto. ¿Alguien podria explicarme? Gracias!

Answer 1

El clásico de poisson soporte con el generador de cualquier simetría da la infinitesimal evolución con respecto a la simetría. La declaración más conocida de este es que el tiempo de evolución de cualquier observable $f$ sobre el espacio de fase está dada por

$$ \partial_t f = \{H,f\}$$

Al igual, para una rotación alrededor de la $i$-ésimo eje con un ángulo parámetro $\phi$, el comportamiento bajo esta rotación se rige por

$$ \partial_\phi f = \{L_i,f\}$$

Por lo tanto, si el corchete de Poisson $\{L_i ,f\}$ se desvanece para todos $i$, $f$ es invariante bajo de rotación, es decir, un escalar.

Answer 2

Les daré un comentario adicional (no es exactamente una respuesta)

La cantidad $\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}$ representa la magnitud de la radio como tal no cambia bajo rotación (conmutador de poisson con Ang. momenutm $L$)

La cantidad $\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}$ representa la magnitud del ímpetu (linear), así también no cambia bajo rotación

La cantidad $\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}$ representa la magnitud de la acción, así también no cambia bajo rotación