Uso del infinito como "i

Question

Recientemente se han publicado varios posts sobre el trabajo de N. J. Wildberger, un finitista que parece pensar que las matemáticas sólo deberían centrarse en cosas que tengan algún tipo de conexión con el "mundo real", lo que excluye muchos objetos infinitos en particular. Este punto de vista goza de cierta simpatía en el mundo de la computación, por ejemplo, donde los algoritmos son un foco de atención. Algunos de estos post han causado cierta controversia y discusión en Meta: Sobre el cierre de "¿Las matemáticas requieren axiomas?"

Que conste que mi formación es tradicional y formalista, con una cantidad bastante típica de platonismo (creo que los números naturales "existen" tanto como cualquier cosa matemática).

Me gustaría abordar algunas de estas cuestiones de una manera diferente, con la esperanza de satisfacer el objetivo de este sitio de producir respuestas reales. Mi pregunta es:

¿Cuáles son algunos ejemplos en los que el uso de objetos matemáticos "infinitos" o posiblemente "irreales" permite tratar mejor los objetos "reales"? Pienso en este concepto como "aproximación idealista": ¿cuándo la idealización de un sistema permite hacer mejores estimaciones?

Este es mi ejemplo para concretar esta cuestión: círculos . Wildberger tiene problemas con los círculos. Creo que una de las razones es que, en el espacio real 2, por ejemplo, los puntos de un círculo tendrían muchas coordenadas irracionales (de hecho, trascendentales), y los números reales son un problema para él. Iré más lejos: no hay círculos reales en la naturaleza, lo mejor que podemos decir. Cualquier cosa que parezca circular debe tener imperfecciones en algún nivel de precisión. Véase este puesto para un ejemplo.

La contrapartida de este punto de vista es que cualquier enfoque que no sea el uso de un círculo perfecto idealizado es más difícil que un enfoque más "realista". Al utilizar círculos perfectos irreales, obtenemos hermosas ecuaciones sencillas (para la circunferencia, el área, etc.) que pueden utilizarse para los cálculos reales, que pueden volver a convertirse en estimaciones racionales con cualquier grado de precisión que se desee. Tratar de abordar los círculos de forma "realista" desde el principio, teniendo en cuenta sus imperfecciones, es innecesariamente complejo: impediría la comprensión en lugar de ayudarla.

Otro ejemplo de pregunta de este tipo pedía ejemplos de límites en el mundo real, aquí .

La cuestión es que la matemática finitista ya está incrustada dentro de la matemática tradicional. Los finitistas parecen pensar que las matemáticas ajenas a las finitistas dificultan la pedagogía. Me gustaría que las respuestas a esta pregunta proporcionaran algunos contraejemplos a esta opinión.

Answer 1

Otro ejemplo podría ser la probabilidad densidad funciones, que suelen ser funciones continuas de valor real. Se podría argumentar que la mayoría de las aplicaciones "reales" requerirían variables aleatorias discretas (para ser computables, por ejemplo). Pero, como en el ejemplo del círculo, una "aproximación" continua de alguna variable aleatoria discreta complicada podría ser más fácil. En particular, debido al Teorema Central del Límite, muchas distribuciones de probabilidad discretas (formadas por una muestra aleatoria, por ejemplo) se aproximan rápidamente a una distribución normal en condiciones razonables.

Answer 2

No sé si este punto de vista es de interés aquí, pero la gran mayoría de la física consiste en simplificar los supuestos.

Modelar el flujo de fluidos o la elasticidad sin la ficción de un medio continuo, en particular, es un claro ejemplo de un enfoque pedagógicamente insano. Por supuesto que hay errores en esta aproximación, debido a un sinfín de pequeños detalles, pero en general se ven mejor como correcciones al problema continuo desde el punto de vista de intentar comprender cualquier fenomenología.

Desde un punto de vista más matemático, la pérdida de la noción de completitud hace muy difícil distinguir entre los espacios en los que las cosas convergen y en los que no, por lo que la teoría de las EDP probablemente se vaya por la ventana, junto con la teoría espectral también.

Answer 3

Un ejemplo cercano a mi campo es la simplicidad de teoría de sistemas dinámicos es en tiempo continuo que en tiempo discreto. Por ejemplo, el Teorema de Poincaré-Bendixson muestra que los sistemas dinámicos de tiempo continuo en menos de tres dimensiones nunca pueden presentar caos; los sistemas dinámicos de tiempo discreto pueden ser caóticos en cualquier número de dimensiones, incluso en una sola.