Algunas preguntas sobre la teoría de intersección en un esquema de Hilbert de puntos de una superficie.

Question

Si $\Sigma$ es una suave curva compleja en una suave superficie proyectiva $X$, entonces se puede considerar que la homología de la clase representada por $\Sigma^{[n]} \subset X^{[n]}$. $\ \ $ Donde, $X^{[n]}, \Sigma^{[n]}$ soporte para el esquema de Hilbert de $n$-puntos de $X$$\Sigma$, respectivamente. Es posible construir un homomorphism función de $\Phi_n: \rm{H}_2(X) \rightarrow H_w(X^{[n]})$, de tal manera que $[\Sigma] \mapsto [ \Sigma^{[n]} ]$?

$\ \ \ $ Uno tiene la siguiente en aquellos disposición: tenemos la obvia cociente mapa de $X^n \rightarrow S^nX$ (donde $S^nX$ es la clave de producto de $X$). Ahora, si $\beta \in H_2(X)$, entonces se puede considerar que la imagen de$B := \beta \times \cdots \times \beta$$H_{2n}(S^nX)$. Si $\beta $ puede ser representada por una curva algebraica, podemos tomar la correcta transformación de $B$ bajo el Chow mapa de $X^{[n]} \rightarrow S^nX$. Si $\beta$ no está representado por una curva, ¿hay algo parecido para la adecuada transformación que se puede aplicar a $B$ para la construcción de la deseada homomorphism función de $\Phi_n$?

Estoy interesado en el estudio de la intersección entre la teoría de las clases de $\Phi_n(\beta)$. Nakajima en su libro "Conferencias sobre Hilbert esquemas de puntos en las superficies", se establece la siguiente buen resultado. Si $\Sigma$ $\Sigma'$ son dos curvas suaves en $X$, entonces (página 102 de Nakajima del libro):

$$\sum_n z^n \ [\Sigma^{[n]}] \cdot [\Sigma'^{[n]}] = (1+z)^{[\Sigma] \cdot [\Sigma']}$$

¿Alguien sabe si hay resultados relacionados con singulares de curvas?

Como un comentario. la fórmula anterior es evidente si $\Sigma$ $\Sigma'$ son dos curvas de intersección transversalmente. Todo lo que dice es que el conjunto de los $m = [\Sigma]\cdot [\Sigma']$ puntos de intersección, elegimos $n$ de ellos (hay $\binom{m}{n}$ de estos chicos, que es lo que la fórmula está dando). Pero la general de la prueba de la fórmula es más compleja - se utiliza una representación del grupo de Heisenberg en el espacio $\oplus_n H_*(X^{[n]})$ a derivar. Esta de lujo shmancy enfoque es más útil al calcular cosas como el auto intersección de $\Sigma^{[n]}$ al $\Sigma$ $(-1)$- curva en $X$. A partir de ella se obtiene que el $[\Sigma^{[n]}] \cdot[\Sigma^{[n]}] = \binom{-1}{n} = (-1)^n$

EDITADO: En vista de Nakajima comentario de abajo, por favor reemplace la función para homomorphism cuando la lectura de la pregunta anterior. Observe que, como dije en mi comentario de abajo, la extensión del mapa $[\Sigma] \rightarrow [\Sigma^{[n]}]$ debe ser una "buena".

EDITADO (estoy copiando mis oculta los comentarios de aquí, ya que sus matemáticas no mostrar bien) Puedo explicar mi motivación. Estoy trabajando con algunos de los módulos de los espacios de los objetos en una superficie de $X$ y de ellos puedo obtener una homología de la clase $V_n$$X^{[n]}$. En niza de los casos, uno puede mostrar que estas clases de homología se $[\Sigma^{[n]}]$, para algunos curva de $\Sigma \subset X$. O una suma de dichas clases. El uso de esta clases de $V_n$ estoy tratando de obtener un mapa de $N : H_2(X) \rightarrow \mathbb{Z}$, definido por $N(\beta) := V_n \cdot \Phi_n(\beta)$. Que, en el buen caso al$V_n = [\Sigma^{[n]}]$$\beta = [\Sigma']$, $$N(\beta) = [\Sigma^{[n]}] \cdot [\Sigma'^{[n]}]$ $ Entonces, mi problema se convirtió en lo que debería ser la definición de $\Phi_n(\beta)$, cuando se $\beta$ no representado por una curva. Presumiblemente, debemos ser capaces de extender $\Phi_n$ a alrededor de un 2-clases que no están representados por las curvas, ya que, por la perturbación de la estructura compleja, podríamos empezar a ver más curvas que antes. No sé lo que debería ser $\Phi_n(-2H)$. Lo mejor que yo podía imaginar, es que debe satisfacer la ecuación de $$[\Sigma^{[n]}] \cdot \Phi_n(-2H) = \binom{\Sigma \cdot (-2H)}{n} $$, pero yo realmente no sé lo que debería ser. Muchas gracias de nuevo!

EDITAR estoy ahora, supongamos que la fórmula $$\alpha \mapsto exp\left( \sum \frac{z_i P_\alpha[-i]}{(-1)^{i-1}i} \right) \cdot 1 $$ (la definición del término $P_\alpha[-i]$ se puede encontrar en el Prof. Nakajima del libro "Conferencias sobre Hilbert esquemas de puntos en superficies" página 84), está bien definido. Por uno de sus resultados, $[\Sigma] \mapsto \sum z^i [\Sigma^{[n]}]$ (op. cit. página 99). Si es así, supongo que esto satisface la que plantea la pregunta.

Answer 1

Me gustaría hacer un ingenuo sugerencia, relacionadas con el trabajo de Voisin, quien construyó esquema de Hilbert de casi todos los complejos colectores de $X$ de la dimensión real de $4$. Y para un trabajo más reciente de Julien Grivaux sobre este tema

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1001/1001.0119v1.pdf

Como tengo entendido Julien puede expresar la cohomology anillo de este esquema, en el caso de $X$ es un simpléctica colector (Teorema 1.1). Simpléctica estructura se utiliza para construir simpléctica superficies en $X$. Estas superficies son muy abundantes en $X$ por un teorema de Donaldson. Para cualquier simpléctica superficie $C$ uno puede encontrar casi un complejo de sturcture en $X$, integrable en un barrio de $C$. Esto se discute en la Sección 3.2 (en particular, el Teorema 3.5 y Corolario 3.3).

Ahora si tenemos un suave casi curva compleja $C$ dentro de $X$, de tal manera que la estructura compleja es integrable en su vecindario, a continuación, $C^{[n]}$ parecen estar bien definidos como un submanifold de $X^{[n]}$ (la Voisin esquema de Hilbert). Por otra parte, Lema 3.8 parecen sugerir que la homología de la clase de $[C^{[n]}]$ está dada por una fórmula analgous a la que, en el caso de $X$ es una expresión algebraica de la superficie (la fórmula de Nakajima).

Tengo una muy superficial comprensión de Julien artículo y de todo el tema, así que me puede hacer un poco de aquí un poco tonto error. Por otra parte no está claro para mí si después de todo la clase $[C^{[n]}]$ en homologías de $X^{[n]}$ sólo depende de la homolgy clase $[C]$$H_2(X)$, pero no va a depender de la elección de un sympectic curva de $C$ que se da cuenta de ello. Y, por supuesto, hay algunos obvios (y no es obvio) restictions en $C$,$\int_C \omega>0$.