Hace un tiempo, estaba leyendo el libro de Majid Fundamentos de la teoría cuántica de grupos y la sección 9.4 tiene una descripción bastante fascinante de un resultado de reconstrucción de Tannaka-Krein para grupos cuánticos. En particular, parece que existe la afirmación de que si $H$ es un álgebra cuasi-triangulada de Hopf, entonces los endomorfismos trenzados del functor identidad sobre (una categoría convenientemente grande de) $H$ -forman un objeto del álgebra de Hopf $H'$ en $H$ -comódulos, de forma que se identifique $H'$ -comódulos con $H$ -comódulos. Además, $H'$ es conmutativa y cocomutativa con respecto a la estructura trenzada en la categoría de $H$ -y bajo algunos supuestos de no degeneración, es autodual. Esto se llama "transmutación" porque $H'$ parece tener mejores propiedades que $H$ (aunque puede vivir en una categoría extraña). Se dan algunos ejemplos, por ejemplo, $U_q(g)$ y dobles cuánticos de grupos finitos. Desgraciadamente, los argumentos de la prueba se dan en un lenguaje diagramático que no he podido entender.
¿Por qué parece problemático este resultado?
El primer problema proviene del razonamiento por analogía. Si quiero describir un objeto del álgebra de Hopf en una categoría monoidal, necesito algún tipo de transformación conmutadora $V \otimes W \to W \otimes V$ para expresar incluso la compatibilidad entre la multiplicación y la comulgación, por ejemplo, que la comulgación es un mapa del álgebra. En el lenguaje de las operadas, necesito (algo parecido) a una estructura E[2] en la categoría para describir estructuras compatibles de álgebra E[1] y de álgebra E[1]. Si se piensa en los espacios de la operada E[k] como configuraciones de puntos en $\mathbb{R}^k$ Esto significa, a grandes rasgos, que se necesitan dos dimensiones para describir operaciones unidimensionales compatibles. En el caso anterior, la categoría de $H$ -tiene una estructura E[2], pero se supone que debo obtener estructuras compatibles de álgebra E[2] y de álgebra E[2]. Ingenuamente, esperaría que fuera necesaria una categoría E[4] para que esto tuviera sentido, pero no he podido lidiar con esto con éxito.
El segundo problema proviene de una construcción que he oído llamar dualidad de Koszul, o tal vez simplemente Bar y coBar. Si estamos trabajando en una categoría E[n] para n suficientemente grande (como el infinito, para el caso simétrico), entonces hay una operación "Bar" que toma álgebras de Hopf con estructuras compatibles de álgebra E[m+1] y álgebra E[k], y produce álgebras de Hopf con estructuras compatibles de álgebra E[m] y álgebra E[k+1]. Hay una operación "coBar" que hace lo contrario, y bajo algunas condiciones que no entiendo, componer coBar con Bar (o viceversa) es débilmente equivalente al functor identidad. En el caso anterior, podría intentar aplicar Bar a $H'$ pero el resultado no puede tener una estructura de álgebra de E[3], ya que E[3] no actúa sobre la categoría. Aplicando Bar entonces coBar implica la estructura de álgebra en $H'$ es a priori sólo E[1], y aplicando coBar entonces Bar implica la estructura del álgebra en $H'$ es a priori sólo E[1]. Es concebible (en mi cerebro) que las estructuras E[2] puedan aparecer de alguna manera espontánea, pero eso parece un poco extraño.
Pregunta
¿Estoy diciendo tonterías, o hay un problema real aquí? (¿o ambos?)
