Si $A^T=-A$, entonces A no es invertible

Question

Que $n \in \mathbb{N}$ sea impar y $A \in$ % Mat $(n,\mathbb{R})$$A^T=-A$. Muestran que $A$ no es inversible.

No tengo idea como empezar esto...

Answer 1

Indirecta: $\det\left( A^{\mathrm T}\right ) = \det A$ y $\det(-A)=(-1)^n\det A$.

Answer 2

Sugerencias:

1) ¿Qué sabes sobre el determinante de una matriz inversible? ¿El efecto sobre el factor determinante de la transposición de una matriz y multiplicación por un escalar?

2) escriba $|A|=a$. Ahora usar lo que sabes y la suposición de que $A^T=-A$, con el fin de obtener igualdades $a$. Deducir que $a=0$.

Answer 3

Les daré mi propia solución, porque es un poco diferente:

Si $A^T=-A$, entonces los valores propios de $A$ son puramente imaginario (cero es una posibilidad), porque si $Ax=\lambda x$, entonces: $$ \lambda\, | x | ^ 2 = \lambda\langle x, x\rangle = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A ^ Tx\rangle = \langle x,-Ax\rangle = \langle x-\lambda x\rangle =-\bar\lambda\, | x | ^ 2. $$ Pero si $n$ es impar, entonces $A$ debe tener un valor propio real, que es necesariamente igual a cero.