¿Por qué es la función Gamma de 1 del factorial?

Question

Por qué no define como $$ \tilde \Gamma(x) = \int_0^\infty t^x e^{-t} \, dt ?$ $ entonces la definición tendría menos dos caracteres de la definición estándar de $\Gamma(x)$ y tendríamos $\tilde \Gamma(n) = n!$ $n$ un no negativo número entero. Y esto ahorraría un montón de confusión.

Answer 1

Mi opinión es que es debido a la manera "correcta" de escribir la definición estándar es $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t}\frac{dt}{t}$. Poner en que medida de Haar multiplicativo hace muchas otras cosas más fácil de llegar directamente. Mismo para un montón de integrales con $t$ a algún exponente con un curioso $-1$ adjunta...