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Question

Que %#% $ #%

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$$f:[0,1]\to\Bbb R\;\;\mbox{defined by}\;\;\; f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{2}}$$

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Principalmente necesito ayuda con la simplificación de la función compuesta. Voy a intentar tomar partir de ahí. (Del substancial) consejos ni soluciones serán mucho y sinceramente apreciadas.

Answer 1

Hacer la sustitución $x = \cos \theta$. Entonces $f(x) = \sqrt{\dfrac{1+\cos \theta}{2}} = \cos \dfrac{\theta}{2}$. Por lo tanto, $f^{(n)}(x) = \cos \dfrac{\theta}{2^n}$.

So, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^{2n}(1-f^{(n)}(x)) = \lim_{n \to \infty}2^{2n}\left(1-\cos \dfrac{\theta}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty}2^{2n}\left(\dfrac{\theta^2}{2 \cdot 2^{2n}}+O\left(\dfrac{1}{2^{4n}}\right)\right) = \dfrac{\theta^2}{2}$ $= \dfrac{1}{2}(\arccos x)^2$.

Tomando el límite como $x \to 0$ debe ser fácil.