¿Composición de epimorphisms regular siempre es regular?

Question

En un finito completo y cocomplete categoría. ¿Siempre tiene que la composición de dos epimorphisms regulares es regular? ¿Y si no es el caso, Qué restricciones tipo de adicionales pueden hacer verdadera (digamos, categoría pre-abelian)?

Lo que ya sabía es tiene para las categorías donde epimorphisms regular y conincide epimorphisms fuertes.

Answer 1

En una categoría con todos los kernel pares y coequalisers de kernel pares, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. regular epimorphisms son estables en virtud de la composición;
2. regular epimorphisms coinciden con fuerte epimorphisms;
3. para cualquier morfismos $f$ si $m_f \circ e_f$ es su factorización a través de la coequaliser de su núcleo par, $m_f$ es un monomorphism;
4. regular epimorphisms y monomorphisms formar una factorización del sistema.

Esto queda demostrado en Monomorphisms, Epimorphisms, y Tirar de espaldas por Kelly (Proposiciones 2.7 y 3.8). Nota: Kelly toma como definición de regular epimorphism lo que se llama en otros lugares estricto epimorphism, pero estas nociones coinciden cuando núcleo pares de existir. (Y Kelly no le da a la "factorización" sistema de versión).

Kelly da un ejemplo de un pre-abelian categoría en la que regular monomorphisms no componer: la categoría de abelian grupos sin elementos de orden 4 (último párrafo de la p. 126). La doble categoría es un pre-abelian categoría en la que regular epimorphisms no componer.