¿Es posible cubrir un $70\times70$ cuadrado con $24$ cuadrados con longitud de lado $1,2,3\ldots24$ ?

Question

¿Es posible cubrir un $70\times70$ cuadrado con $24$ cuadrados con longitud de lado $1,2,3\ldots24$ ?

Answer 1

Este problema lo planteó el propio Martin Gardner en 1966 (Scientific American, septiembre de 1996). Por lo que sé, quedó sin resolver hasta que fue comprobado manualmente por un programa informático en 2002 ( enlace ). Es imposible.

Otras notas: Consideremos el problema general: ¿es posible embaldosar un $L\times L$ cuadrado con $k$ cuadrados de lado $1,2,3\ldots k$ ? Resulta que la única solución para $$1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=L^2$$ es $k=24,L=70$ (además de la obvia $k=L=1$ ). Aquí hay una enlace a la prueba de Watson en 1918 (está en las primeras páginas) Así que este problema es único, en cierto modo.

Además, la idea general de embaldosar un cuadrado completamente con otros cuadrados se denomina "elevar al cuadrado" y está ampliamente estudiada ( enlace ).