El uso de varias bases en no es nada nuevo. Las diferentes bases tienen diferentes beneficios, pero normalmente se utiliza un número entero como base.
Si quieres que los humanos estén familiarizados, quédate con la base 10. Si quieres que el cálculo sea más fácil, el binario y el ternario equilibrado tienen sus ventajas. En situaciones específicas, quédate con lo que mejor se adapte a esa situación.
Tienes razón en que las bases que son potencias de un entero tienen una ventaja especial en la visualización, pero la base 8 se utiliza raramente para representar valores, y La base-27 se utiliza sobre todo en la criptografía recreativa .
Dibujar cubos de cubos de cubos sigue siendo una buena manera de visualizar grandes cantidades, pero puede ser algo engañoso. Aquí hay 1000 cubos:
![(2x5)x(2x5)x(2x5)]()
y aquí hay 1024 cubos, sólo un poco más:
![(2x4)x(2x4)x(4x4)]()
Base 10: su principal ventaja es la familiaridad con los humanos, y un conjunto preexistente de símbolos para expresar los números en base-10. Aparte de eso, esta base no es realmente especial.
Las bases 12, 20 y 60 han sido utilizadas históricamente por diferentes culturas ( Mayas - base 20 ), ( Babilonios - base 60 )... la base-12 puede verse en cierta terminología de marketing: docena = 12; bruto \= $12^2$ = 144; gran bruto = 12^3. La base 20 todavía puede verse en los números franceses: quatre-vingt-dix-neuf = 4*20 + 10 + 9 = 99. La principal ventaja de estas bases es que son altamente divisibles. 12 = LCM(3, 4); 60 = LCM (3, 4, 5)
Base mixta 2/2/2.5: es la secuencia 1-2-5-10 que tiene ventajas en la vida real: es "casi" regular, convierte bien a base decimal, y tiene ventajas sobre el denario simple en situaciones en las que un valor está representado por un conjunto de fichas de un conjunto predefinido (piense: dinero).
base mixta 6/10: se utiliza normalmente para representar el tiempo. Hay 60 segundos en un minuto y 60 minutos en una hora. Así, la secuencia "1:00:00" puede entenderse como un único número de cinco dígitos en el que las cifras tienen pesos de 3600, 600, 60, 10 y 1.
Base 6: tiene un beneficio especial con respecto a la conjunción Collatz. En la conjunción de Collatz, cada paso divide un número por dos o lo multiplica por tres. En base 6, esto se traduce en dejar o no dejar el último dígito. Cada dígito de cada paso -hasta un desplazamiento de un lugar- depende sólo de dos dígitos consecutivos del paso anterior.
Base 2: su principal ventaja es la facilidad de realización en electrónica. O bien una tensión de cable es de cero voltios y el cable abre los transistores PMOS para los que es la base, o la tensión de cable es un valor positivo establecido, y abre los transistores NMOS en Lógica CMOS . Otros sistemas digitales de lógica convergen naturalmente también a un sistema de dos valores: lógica de resistencias-transistores, lógica de transistores-transistores, lógica acoplada al emisor . Las señales binarias son especialmente fáciles de rectificar: basta con encadenar dos inversores. Su principal inconveniente es la gran cantidad de símbolos necesarios para expresar cualquier valor de tamaño razonable. Una ventaja en términos de cálculo es la simplicidad de su tabla de multiplicación.
Base 8: Combina la densidad de información cercana a la de base-10 con la facilidad de conversión desde base-2. Si tienes un gran conjunto de bits que necesitas anotar, sólo tienes que dividirlos en grupos de tres y anotar cada grupo como un solo dígito. Esta es la última potencia de base-2 antes de que se agoten los dígitos. Sin embargo, Base-16 se utiliza mucho más a menudo.
Base 16: la razón es que hay ocho bits en un byte (moderno). Por lo tanto, se necesitan tres dígitos de base 8 para expresar un byte, pero sólo dos dígitos de base 16. La desventaja es que hay que encontrar seis símbolos adicionales. Sin embargo, la A-F parecía ser la opción natural y se mantuvo. Hay suficientes letras en el alfabeto para llegar a la siguiente potencia de dos bases, pero si añadimos la distinción entre minúsculas y mayúsculas y dos símbolos no alfanuméricos, obtenemos
Base 64: es la mayor base de potencia de dos antes de que se agoten los caracteres ASCII imprimibles. Así, Base64 (= base 64 con una elección particular para el conjunto de símbolos) es el estándar de facto para la transmisión de datos binarios. Una vez más, no hay ninguna ventaja especial en términos de facilidad de cálculo.
Base 85 La principal ventaja es que 85^5 > 2^32. Así, sólo se necesitan cinco símbolos para representar un número de cuatro bytes. Sin embargo, sólo proporciona un poco más de densidad de información (5/4 sobre 4/3) que la base 64, a costa de una conversión más cara. Además, hay menos soporte en términos de bibliotecas estándar.
Se utilizan otras bases para codificar los datos. Si tiene n símbolos, utilice la base-n. Un ejemplo sería un código de comas, donde un símbolo es un separador entre números y los otros símbolos son dígitos: base-7, base-15, base-255...
Ternario (base-tres) y ternario equilibrado: se han realizado algunos experimentos para fabricar ordenadores en ternario. La principal ventaja es una mayor densidad de información (1 trit ~ 1,6 bits) manteniendo la cantidad de niveles de tensión relativamente baja. El ternario equilibrado utiliza los valores -1, 0, 1 para los dígitos. El ternario equilibrado es la base más grande en la que la multiplicación de dígitos simples produce un solo dígito. Las bases 9 y 27 sirven entonces para empaquetar dos dígitos en uno. Otra ventaja es que las bases equilibradas proporcionan un medio unificado para representar los enteros negativos junto con los enteros positivos.
base -2: aunque las bases negativas se utilizan raramente, la representación más común de los enteros en el ordenador, el complemento a dos, es algo similar al negabinario: en lugar de alternar entre pesos negativos y positivos, se utiliza el binario estándar para todos los bits menos el superior, y sólo el superior tiene un peso negativo.
base 2i: podemos ampliar la idea de las bases negativas y utilizar números imaginarios para la base. Entonces, podemos codificar los números complejos en una sola cifra. En base 2i, las cuatro soluciones de $x^4 = 1$ son 1, 10,2 (= 2i-i), 103 (= -4+3), 0,2(= -i)
Las bases irracionales tienen un grave inconveniente: no hay forma de representar exactamente los enteros por encima de la base. Pero, si añadimos una parte fraccionaria, las bases irracionales algebraicas pueden seguir utilizándose para representar enteros. Conozca phinary : 1, 10.01, 100.01, 101.01, 1000.1001...
pero, estrechamente relacionado con el finario está el Código Fibonacci . El código de Fibonacci es un sistema numérico que no tiene una relación fija entre los pesos de los dígitos sucesivos, pero la relación converge a phi. Los pesos son números fibonacci sucesivos. La ventaja es que cada número entero puede representarse de forma única como una secuencia de ceros y unos en la que no hay dos unos consecutivos. Si se coloca un uno entre dos números, se sabe exactamente dónde empieza y termina uno: basta con buscar un par de unos. Así, tienes una forma de enviar un flujo de enteros.
Las bases muy grandes (~100 dígitos) entran en juego en la criptografía, pero entonces normalmente sólo interesa el último dígito. Los cálculos en los que sólo nos interesa el último dígito (descripción aproximada) se denominan aritmética modular. Si la base que eliges es un producto de dos primos, entonces puedes encontrar fácilmente pares de números -dígitos en esa base- de manera que si los usas como exponentes, el último dígito de la potencia es el mismo que el número que se está exponenciando. Pero, si no conoces los primos, no puedes determinar fácilmente un exponente a partir del otro. Por lo tanto, se cifra un mensaje exponiendo con un número y se descifra exponiendo con el otro. Esta es la base del Algoritmo RSA .
