Sé que es una pregunta muy elemental pero todavía no entiendo bien la diferencia entre elemento máximo y elemento mayor. Si es posible, por favor explíqueme esta diferencia con algunos ejemplos, etc.
Intenté explicarme esta diferencia utilizando sólo la definición, pero elemento máximo y elemento mayor me siguen pareciendo casi lo mismo.
Gracias.
Usted es máximo cuando no hay nadie por encima de ti.
Usted es mayor cuando estás por encima de los demás.
Ejemplos:
Si nadie te ha comido, no se deduce que te hayas comido a todos los demás.
Si nadie está parado sobre tu cabeza, no se deduce que tú estés parado sobre la cabeza de todos los demás.
Si vives en el último piso de tu edificio de apartamentos, no significa que vivas por encima de todos los demás en la ciudad.
Por tanto, los elementos máximos no tienen por qué ser los más grandes.
(Por cierto, aunque un elemento mayor es siempre un elemento maximal único, es un ejercicio divertido idear un orden parcial que tenga un único elemento maximal, que no es mayor).
La cuestión crucial es la diferencia entre una orden parcial y una orden lineal.
Un orden parcial es un conjunto en el que a veces puedes decir "esta cosa es más grande que aquella", pero algunas cosas son simplemente incomparables. En un orden lineal, puedes siempre decir "esta cosa es más grande que eso".
Por ejemplo, si se trabaja con los números naturales (excepto $0$ ), $\{1,2,3,...\}$ y dices "Voy a declarar que $n \leq m$ si $n|m$ . Entonces, la reflexividad es clara ( $n|n$ ), la antisimetría es clara (si $n|m$ y $m|n$ entonces $n = m$ . Y la transitividad también es fácil de comprobar ( $n|m$ y $m|p$ implica $n|p$ ). Por lo tanto, se trata realmente de una orden parcial.
Ahora, en este noción de orden, es $2\leq 3$ ? No, ya que $2$ no se divide uniformemente en 3. Bueno, es $3\leq 2$ ? De nuevo, no, ya que $3$ no se divide uniformemente en $2$ . La conclusión es que simplemente no tenemos forma de comparar los tamaños de $2$ y $3$ en este orden.
Ahora, para responder a su pregunta real, como Stefan ha señalado, en un orden lineal (donde dos elementos cualesquiera son comparables) las dos nociones coinciden.
En un orden parcial, podemos ver la diferencia. Un elemento es máximo si es más grande que todo con lo que se puede comparar, pero no estamos afirmando que se pueda comparar con todo.
Un elemento es mayor si es más grande que todo con lo que se puede comparar, y podemos compararlo con todo.
Supongamos que $\langle A,R\rangle$ es un conjunto parcialmente ordenado (es decir $A$ no está vacío, $R$ es una relación de orden parcial sobre $A$ ).
Un elemento $a\in A$ se llama máximo si $\forall b\in A(aRb\rightarrow b=a)$ . Es decir, no hay nadie "por encima" $a$ (excepto quizás $a$ mismo).
Un elemento $a\in A$ se llama máximo o mayor si $\forall b\in A(bRa\lor b=a)$ que $a$ está "por encima" todo el mundo en $A$ en la relación $R$ .
Tenga en cuenta que ambas definiciones son válidas tanto si se requiere como si no se requiere $R$ ser reflexivo.
De esto se deduce que un elemento mayor es, por definición, maximal, pero no a la inversa.
Considere el siguiente caso $A=\{a,b\}$ y $R$ se define como la relación de identidad, entonces tanto $a$ y $b$ son máximos, pero ninguno es el mayor.
Otro ejemplo fuerte con un solo elemento maximal, pero sin elemento mayor es este: considere el conjunto $\{a\}\cup\mathbb Z$ y la relación $R$ se define como $<$ para los números enteros y $aRa$ en caso contrario (es decir $a$ no está con los enteros en esta relación). En este caso $a$ es trivialmente un elemento máximo, nadie está "por encima" de él, sin embargo no hay ningún elemento máximo, ya que nadie está por encima de ambos $a$ y todo los números enteros.
En un conjunto totalmente ordenado esos conceptos son los mismos. Así que tenemos que considerar conjuntos parcialmente ordenados que no están totalmente ordenados para encontrar un ejemplo. Los conjuntos más comunes de este tipo son los conjuntos ordenados por inclusión. Consideremos el conjunto $\{\{0\},\{1\}\}$ . Contiene dos elementos, ninguno de los cuales es subconjunto del otro. Ambos elementos son máximos, pero el conjunto no tiene ningún elemento mayor.
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