Soluciones de ecuaciones diferenciales lineares homogéneas son un caso especial del teorema de la estructura para los módulos de f.g. sobre un PID

Question

En este otro post, Qiaochu Yuan comentarios de que las soluciones para el homegeneous ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes son un caso especial de la estructura teorema de finitely generado los módulos a través de un PID.

Él dice:

el espacio de las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes tiene un $k[D]$-estructura del módulo, donde $D$ es la diferenciación, y por otra parte es finitely generado. Así, la estructura teorema dice qué tipo de descomposición esperar y, a continuación, usted explícitamente construir los correspondientes vectores propios generalizados $x^ne^{rx}$.

No entiendo muy bien esto, ya no sé lo que es un $k[D]$-módulo es, y no estoy del todo familiarizado con derivaciones.

Estoy muy interesado en ver explícitamente cómo la descripción de las soluciones de estas ecuaciones es un caso especial de la estructura del teorema.

Answer 1

Deje que nuestro ecuación diferencial lineal homogénea ser $p(D) f = 0$ donde $p$ es de algún polinomio y $D$ es la diferenciación. Por la existencia y la unicidad del espacio de soluciones es un espacio vectorial de dimensión $\deg p = n$. Además, el espacio de soluciones es actuado por $D$, por lo tanto es un $k[D]$-módulo generado por $n$ elementos.

La estructura teorema dice que todos los finitely generado por $k[D]$-los módulos son directas importes de los módulos de la forma $k[D]/(D - \lambda)^m$. Aquí sabemos que $p(D)$ hechos por cero, por lo que cualquier daño directo sumando debe tener la propiedad de que la $(D - \lambda)^k$ divide $p(D)$. Escrito

$$p(D) = \prod (D - \lambda_i)^{m_i}$$

sugiere que debemos mirar para submódulos de isomorfo a $k[D]/(D - \lambda_i)^{m_i}$. Un submódulo consta de funciones $f$ cuales son las soluciones a

$$(D - \lambda_i)^{m_i} f = 0.$$

Ahora, escriba $f = e^{\lambda_i x} g$. Calculamos que

$$(D - \lambda_i) f = e^{\lambda_i x} Dg$$

por lo tanto sigue por inducción que

$$(D - \lambda_i)^{m_i} f = e^{\lambda_i x} D^{m_i} g = 0.$$

De ello se desprende que $g$ es un polinomio de grado menor que $m_i$. Por lo que hemos encontrado nuestro deseado submódulo: se compone de todos los $f$ de la forma $f(x) = e^{\lambda_i x} g(x)$ donde $g$ es un polinomio de grado menor que $m_i$.

(Por cierto, en realidad no necesita la estructura teorema de hacer nada de esto. Si $p(D) f = 0$ luego ya sigue que cualquier función de $f$ satisfacción $q(D) f = 0$ donde $q | p$ es una solución y, a continuación, la discusión anterior construcciones de todas las soluciones. La estructura teorema es sólo mental de dirigirse a lugar a esta situación, ya que es una fuente natural de trivial Jordania bloques.)

Answer 2

Yo no puedo leer Qiaochu la mente, pero supongo que algo como lo siguiente es lo que tenía en mente. Considere la posibilidad de un homogénea DE con coeficientes constantes $a_1,\ldots,a_n\in k$ (aquí se $k$ es un campo, ya sea de los reales o los números complejos) $$ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0. $$

Sin duda, usted sabe que el conjunto de soluciones de forma un subespacio $V$ de la función del espacio. IOW, si $y=y_1(x)$ $y=y_2(x)$ son soluciones, entonces cualquier combinación lineal $y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ para cualquier constantes $c_1,c_2\in k$.

Además, si $y$ es una solución, entonces también lo es su derivado $Dy=y'$. En otras palabras $D:V\rightarrow V$. Por lo tanto, también se $D^2y, D^3y,\ldots$ son siempre soluciones, si $y$ es. Esto nos permite actuar en cualquier solución de $y$ por cualquier polinomio $b_n D^n+b_{n-1}D^{n-1}+\cdots+b_0$ como sigue: $$ (b_n D^n+b_{n-1}D^{n-1}+\cdots+b_0)y=b_ny^{n}+b_{n-1}y^{n-1}+\cdots+b_1y'+b_0. $$ Esta acción activa $V$ a una $k[D]$-módulo. Algebraicamente el anillo de $k[D]$ es sólo el anillo de polinomios en el "desconocido" $D$. Así que es un PID, y podemos utilizar la teoría de la estructura de finitely generado los módulos a través de un PID. Una variante de la estructura teorema nos dice que cualquier finitely generadas $k[D]$-módulo puede ser escrita como una suma de cíclico de los módulos de la una o de la forma $k[D]$ o de la forma $k[D]/p(D)^m$ donde $p(D)\in k[D]$es un polinomio irreducible.

En este caso, no habrá libre de componentes. Esto se deduce del hecho de que $V$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre $k$. Más directamente se desprende el hecho de que el polinomio característico $$ \chi(D)=D^n+a_1D^{n-1}+\cdots+a_{n-1}D+a_n $$ obviamente mata a todo lo $V$. Esto también implica que todos los polinomios $p(D)$ que aparecen en la anterior suma directa de descomposición debe ser factores de $\chi(D)$.

En el caso de $k=\mathbf{C}$ un polinomio irreducible $p(D)$ es lineal, por el teorema fundamental del álgebra, es decir, $p(D)=D-\alpha$ para algunos complejos constante $\alpha$. Si $y$ es un generador de un cíclico $k[D]$-submódulo $V_\alpha$ de la forma $k[D]/(D-\alpha)^m$, luego $V_\alpha$ tiene una base $$\{y_0=y,y_1=(D-\alpha)y,y_2=(D-\alpha)^2y,\ldots,y_{m-1}=(D-\alpha)^{m-1}y\}$$ porque cualquier coset de el ideal generado por a $(D-\alpha)^m$ tiene un único representante de grado inferior a $m$. Aquí, por las propiedades del módulo de acción, tenemos $$(D-\alpha)y_{m-1}=0\qquad\hbox{and}\qquad (D-\alpha)y_i=y_{i+1},i=0,1,\ldots,m-2.$$ De esto podemos deducir que el $y_{m-1}=c_{m-1}e^{\alpha x}$, y (selección de $c_{m-1}=1$), a continuación, $y_{m-2}=xe^{\alpha x}$ et cetera. Sin embargo, otra manera de mirar esto es observar que $V_\alpha$ corresponde a un bloque de Jordan de la endomorfismo $V$.

En el caso real es posible que $p(D)$ es cuadrática y tiene raíces complejas, es decir, $$ p(D)=(D[\alpha+\beta])(D[\alpha-i\beta])=D^2-2\alpha D+(\alpha^2+\beta^2). $$ Yo se lo dejo a usted a adivinar qué tipo de cíclico $k[D]$-submódulos de $V$ aspecto de la $k[D]/p(D)^m$.

Me pueden haber pasado por alto algunos aspectos de esta forma de mirar a una DE, pero esta respuesta es lo suficientemente largo como es, así que me detengo por ahora.

Answer 3

Si $\Lambda$ $k$- álgebra ($k$ campo) a $\Lambda$-módulo es una $k$-espacio vectorial $M$ equipada con una acción de $\Lambda$, es decir, lineal mapa de $\Lambda \otimes M \to M$ escrito $\lambda \otimes m \mapsto \lambda \cdot m$ la satisfacción de la asociatividad de la propiedad $\lambda \cdot (\mu \cdot m) = (\lambda\mu)\cdot m$. Equivalentemente, se puede hablar de representaciones de $\Lambda$: morfismos de álgebras de $\Lambda \to \operatorname{End}_k(M)$ para un espacio vectorial $M$. Si tienes una rep $\rho: \Lambda \to \operatorname{End}(M)$ luego de hacer $M$ a una $\Lambda$-módulo de $\lambda\cdot m := \rho(\lambda)(m)$.

En esta situación, usted tiene algunas funciones del espacio $\mathcal{F}$ y un álgebra $k[D]$ que consta de todos los polinomios en el operador de diferenciación $D$$\mathcal{F}$, con la multiplicación dada por la composición de funciones. Para hacer $\mathcal{F}$ a una $k[D]$ módulo sólo tenemos que decir cómo $D$ actos, a continuación, extender por la linealidad y la asociatividad. Por supuesto, nos pusimos $D \cdot f := D(f)$.

Ahora si $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ es el conjunto de soluciones de un homogénea de la ecuación diferencial, es un subespacio vectorial cerrado bajo la acción de la $D$. Eso significa que es de nuevo un $k[D]$-módulo -- un submódulo de $\mathcal{F}$.

Esto significa que usted puede aplicar el teorema de estructura de para finitely generado los módulos a través de un PID para obtener información sobre el espacio de la solución en $k[D]$-módulo.