Tengo un problema con la prueba de la causalidad en Peskin & Schroeder, Una Introducción a la QFT, página 28. Para evitar confusiones, yo uso tres vectores de la notación, la reescritura de la Eq. (2.53) por $y=0$ como sigue:
$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\sqrt{p^2+m^2}}\left(e^{-i\mathrm{p}.\mathrm{x}-it\sqrt{p^2+m^2}}-e^{i\mathrm{p}.\mathrm{x}+it\sqrt{p^2+m^2}}\right)$
El libro acerca de cómo el integrando de ser invariante de Lorentz hace que esta integral cero para la x fuera del cono de luz. Pero yo (no el ser de la relatividad especial de expertos) quieren ver más rigurosamente:
después de cambiar las variables de $p\to-p$ en el primer término, la ecuación se simplifica a:
$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{-2i}{2\sqrt{p^2+m^2}}e^{i\mathrm{p}.\mathrm{x}}\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)$
usando coordenadas esféricas:
$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{dpd\phi d\theta p^2\sin\theta}{(2\pi)^3}\frac{-i}{\sqrt{p^2+m^2}}e^{ipx\cos\theta}\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)\\ [\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int_0^{\infty}\frac{dpp}{(2\pi)^2}\frac{-2i}{x\sqrt{p^2+m^2}}\sin (px)\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)$
de nuevo después de otro cambio de variables $u=\sqrt{p^2+m^2}$,
$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\frac{-2i}{x}\int_m^{\infty}\frac{du}{(2\pi)^2}\sin (x\sqrt{u^2-m^2})\sin\left(tu\right)$
No puedo ver cómo esta integral debe ser cero para $x>t$ !!! Puede alguien por favor explicar esto a mí?
