(Whitney) Lema de extensión para los mapas lisas

Question

Actualmente estoy leyendo Lee el libro de "Introducción a la Suave Colectores (2ª edición)".

Corolario 6.27 en que libro dice que un suave mapa de $f : A \rightarrow M$ donde $M$ es un buen colector de sin(!) límites y $A \subset N$ está cerrada (donde $N$ es un colector con posiblemente no vacío límite) puede ser extendida a una suave mapa de $F: N \rightarrow M$ fib tiene una extensión continua.

Lee las reclamaciones (y deja esto como Problema 6-7), que el reclamo es en general falso si $M$ ha vacío límite. El Problema le pide que muestre teniendo en cuenta las $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{H}^2, t \mapsto (t, |t|)$$\mathbb{H}^2 = \mathbb{R} \times [0,\infty)$$A = [0,\infty)$.

El problema con este Problema es que Lee define un mapa de $f : A \rightarrow M$ en un subconjunto $A \subset N$ a ser suave, si para cada a $p \in A$ hay una (abierto) vecindario $W_p \subset N$ $p$ y un suave mapa de $f_p : W_p \rightarrow M$ que está de acuerdo con $f$$A \cap W_p$.

Esta condición está claro que no es satisfecho por encima de $F$$t = 0$.

Mi pregunta es, si la reclamación no obstante falla (con otro contraejemplo).

El problema en lugar de probar la afirmación de que en este caso es que Lee utiliza una incrustación de $M$ $\mathbb{R}^n$ (ningún problema) y, a continuación, utiliza la existencia de un "tubular de barrio" que no si $M$ ha vacío límite.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Uh-oh ... esto es un error en mi definición de la suavidad de un mapa definido a partir de un subconjunto de un colector (con o sin límite) en un manifold con frontera. Si $M=\mathbb R$, $N=[0,\infty)$, y $A = [0,\infty)\subset M$, ciertamente, quisiéramos considerar el mapa de $f\colon A\to N$ definido por $f(x)=x$ a ser suave, pero no por la definición que me dio. He añadido una definición revisada a mi lista de correcciones (disponible aquí; véase la corrección de la p. 45) que corrige este problema.

Buena captura!