El operador lineal acotado mapea conjuntos cerrados acotados por la norma a conjuntos cerrados. ¿Implica un rango cerrado?

Question

Pregunta

Supongamos que $T:X\rightarrow Y$ es un operador lineal continuo e inyectivo entre espacios de Banach. Supongamos, además, que $T$ mapea conjuntos cerrados normados en $X$ a conjuntos cerrados en $Y$ . Entonces el rango de $T$ está cerrado en $Y$ .

Este es un problema relacionado con uno dado Una invitación a la teoría de los operadores por Abramovich y Aliprantis y me gustaría verificar mi prueba.

Intento

Suponemos que $T$ es como la anterior, y demostraremos que tiene rango cerrado. Si $y_n = T x_n$ y $y_n\rightarrow y$ queremos demostrar que $y=Tx$ para algunos $x\in X$ . En primer lugar, supongamos que $\{x_n\}_{n\geq 1}$ no tiene límites. Entonces

$$\lim_n\, T(x_n/\|x_n\|) = \lim_n\, y_n/\|x_n\| = 0.$$

Pero el conjunto $B=\{ x\in X: \| x\|=1\}$ es cerrado y acotado por la norma, por lo que su imagen bajo $T$ está cerrado. En particular, debemos tener $Tz=0$ para algunos $z\in B$ . Esto contradice el hecho de que $T$ es inyectiva. Por lo tanto, la secuencia $\{x_n\}_{n\geq 1}$ está acotado en $X$ . Desde $\{x_n\}_{n\geq 1}$ está acotado, el conjunto $$ A=\mathrm{cl} \{ x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots \}$$ es cerrado y acotado por la norma. Por lo tanto, $T(A)$ está cerrado en $Y$ . En particular, $y=\lim_n\, Tx_n = Tx$ para algunos $x\in A \subset X$ . Así que el rango de $T$ está cerrado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Su prueba parece buena.

Esta es otra posible línea que podrías seguir.

Lema. Supongamos que $X,Y$ son espacios de Banach, $T : X \to Y$ es continua e inyectiva. Entonces el rango de $T$ es cerrado si y sólo si existe una constante $c > 0$ tal que $\|Tx\| \ge c\|x\|$ para todos $x\in X$ (decimos que tal $T$ es limitado por debajo de ).

Prueba . Para la dirección hacia adelante, utilice el teorema del mapa abierto. (Pero en realidad no necesitamos el sentido de avance para este problema). Para el sentido inverso, si $T$ está acotado por debajo, entonces $T^{-1}$ está acotado. Así que $TX = (T^{-1})^{-1} X$ es cerrado, siendo la preimagen de un conjunto cerrado bajo un mapa continuo.

Ahora el problema: dejemos que $S$ sea la esfera unitaria de $X$ . Por supuesto $TS$ es cerrado, y por la inyectividad de $T$ no contiene 0. Por lo tanto, su complemento contiene una bola abierta de algún radio $c$ alrededor de 0. Esto significa que $\|Tx\| \ge c\|x\|$ para todos $x \in S$ y, por linealidad, lo mismo ocurre con todos los $x \in X$ . Así que $T$ está acotado por debajo, y por nuestro lema tiene rango cerrado.

Answer 2

Usted está asumiendo que $(x_{n})$ no limitado implica $\left(\frac{1}{\|x_{n}\|}\right)$ va a $0$ para que luego puedas concluir $\lim_{n\to\infty}\frac{y_{n}}{\|x_{n}\|}=0$ . Esto no es necesariamente cierto.

Por ejemplo, la secuencia $(x_{n})$ en $\mathbb{R}$ dado por $x_{n}=\begin{cases}n & \mbox{if }n\mbox{ is even}\\1 & \mbox{if }n\mbox{ is odd}\end{cases}$ no tiene límites. Sin embargo, $\frac{1}{\|x_{n}\|}=\begin{cases}\frac{1}{n} & \mbox{if }n\mbox{ is even}\\1 & \mbox{if }n\mbox{ is odd}\end{cases}$ no converge.

Afortunadamente, $\left(\frac{1}{\|x_{n}\|}\right)$ contiene una subsecuencia que converge a $0$ . Así que puedes sortear el problema con un pequeño cambio en tu prueba:

Supongamos que $(x_{n})$ no está acotado. Entonces hay una subsecuencia $(x_{n_{k}})$ de $(x_{n})$ tal que $x_{n_{k}}\not=0$ para todos $k$ y $\lim_{k\to\infty}\|x_{n_{k}}\|=\infty$ . Entonces $\lim_{k\to\infty}\frac{y_{n_{k}}}{\|x_{n_{k}}\|}=0$ .