Acción unipotente de pro- $p$ -grupo

Question

Diga $p$ y $\ell$ son números primos distintos.

Dejemos que $G$ ser un pro- $p$ -que actúa de forma continua en un grupo de dimensión finita $\mathbb{Q}_\ell$ -espacio vectorial $V$ .

Supongamos que la acción de $G$ en $V$ es unipotente, es decir $\exists n$ tal que $(\sigma - 1)^n = 0$ para todos $\sigma \in G$ .

¿Se deduce que la acción de $G$ en $V$ ¿es trivial?

Answer 1

Considere $f:G\to H=\text{GL}_n(\mathbf{Q}_\ell)$ continua. Entonces $f(G)$ es un pro- $p$ -(como cociente de $G$ ). Por otro lado, $H$ tiene un subgrupo abierto $U$ que es pro- $\ell$ , a saber $\text{GL}_n(\mathbf{Z}_\ell)$ . De ello se desprende que $f(G)\cap U$ es a la vez pro- $p$ y pro- $\ell$ por lo que es trivial, por lo que $f(G)$ es discreto, por lo tanto, finito.

Ahora supongamos además que la acción es unipotente. El grupo unipotente en $\text{GL}_n(\mathbf{Q}_\ell)$ es libre de torsión. Así que $f(G)$ es libre de torsión y finito, por lo que es trivial.